Considere o sólido geométrico delimitado inferiormente pelo plano z = 0 e superiormente por z = -x² - y² + 4. Para calcular o volume desse sólido, basta calcularmos a integral tripla da função constante igual a 1. Utilizando esses recursos, calcule o volume do sólido. Assinale a alternativa que indica o resultado correto. Alternativas:
a) 2.
b) 4.
c) 2П.
d) 4п.
e) 8п.
a) 2.
b) 4.
c) 2П.
d) 4п.
e) 8п.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido geométrico que está abaixo de um certo plano e acima de outro. Para isso, vamos usar a matéria de Cálculo Integral, mais especificamente Integrais Triplas. Vamos precisar entender como configurar e calcular uma integral tripla em coordenadas polares para achar o volume desse sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o que estamos lidando. O sólido está limitado inferiormente pelo plano $ z = 0 $ e superiormente pela superfície $ z = -x^2 - y^2 + 4 $. Isso significa que o volume que queremos encontrar está entre essas duas superfícies.
Passo 3
Para calcular o volume, usamos a integral tripla da função constante igual a 1 sobre a região delimitada. Em termos matemáticos, isso fica assim:
Onde $ D $ é a região do sólido.
Passo 4
Vamos transformar essa integral para coordenadas polares, já que a região em $ x $ e $ y $ é circular. Nas coordenadas polares, temos:
E o elemento de volume $ dV $ fica:
Passo 5
Agora, vamos determinar os limites de integração. Sabemos que $ z $ varia de 0 até $ -x^2 - y^2 + 4 $. Em coordenadas polares, isso fica:
Para $ r $ e $ \theta $, observamos que $ z \geq 0 $ implica:
Então, $ r $ varia de 0 a 2 e $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $.
Passo 6
Vamos montar a integral tripla agora:
Integrando em relação a $ z $:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral em $ r $:
Integrando termo a termo:
Aplicando os limites de 0 a 2:
Passo 8
Agora, vamos integrar em $ \theta $:
Resposta
A resposta correta é 8
, que corresponde à alternativa e).