Um reservatório de água tem a forma de um hemisfério acoplado a um cilindro circular. A medida do raio hemisférico é a mesma do raio da base do cilindro e igual a r = 3 m. Se a altura do reservatório é h = 6 m. Qual a capacidade máxima de água comportada nesse reservatório?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um reservatório de água que tem a forma de um hemisfério ligado a um cilindro. Sabemos que o raio do hemisfério e do cilindro é o mesmo, que é $ r = 3 $ metros. A altura total do reservatório é $ h = 6 $ metros. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a capacidade máxima de água que esse reservatório pode comportar. Para resolver isso, vamos precisar calcular os volumes do cilindro e do hemisfério e somá-los. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a altura total do reservatório ($ h = 6 $ metros) é a soma da altura do cilindro mais a altura do hemisfério. Sabemos que a altura de um hemisfério é igual ao seu raio. Então, a altura do hemisfério é $ r = 3 $ metros.

Passo 3

Agora, vamos calcular a altura do cilindro. Como a altura total é 6 metros e a altura do hemisfério é 3 metros, a altura do cilindro ($ h_{cil} $) é:
hcil

Passo 4

Com a altura do cilindro conhecida, vamos calcular o volume do cilindro. A fórmula para o volume de um cilindro é:
Vcilindo = pi r^2 h
Substituindo os valores:
Vcilindo = pi (3)^2 (3) = pi times 9 times 3 = 27pi,m³ ³

Passo 5

Agora, vamos calcular o volume do hemisfério. A fórmula para o volume de um hemisfério é metade do volume de uma esfera. A fórmula da esfera é:
Vesfera = 43 pi r^3
Então, o volume do hemisfério ($ V_{hem} $) é:
Vhem
Substituindo $ r = 3 $ metros:
Vhem = 12 times 43 pi r^3 = 23 pi r^3 ³

Passo 6

Agora que temos os volumes do cilindro e do hemisfério, vamos somá-los para encontrar a capacidade máxima do reservatório:
Vtotal = Vcilindo + Vhem = 27pi,m³ + 18pi,m³ = 45pi,m³ ³³³

Resposta

A capacidade máxima de água que o reservatório pode comportar é de $ 45\pi,m³ $.

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