Considere uma urna contendo cinco bolas brancas, duas pretas e três verdes. Suponha que três bolas sejam retiradas da urna, de forma aleatória e sem reposição. Qual é, aproximadamente, a probabilidade de que as três bolas retiradas tenham a mesma cor?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma urna com 5 bolas brancas, 2 pretas e 3 verdes, totalizando 10 bolas. A gente vai retirar 3 bolas dessa urna, sem colocar nenhuma de volta (isso se chama sem reposição). Queremos descobrir qual é a probabilidade de que as três bolas retiradas sejam da mesma cor. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória e probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o número total de jeitos de retirar 3 bolas de uma urna com 10 bolas. Isso é dado pelo número de combinações, já que a ordem das bolas não importa. A fórmula para combinações é:
Onde:
- $ n $ é o número total de itens.
- $ k $ é o número de itens a serem escolhidos.
- $ ! $ representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.
Aplicando isso:
Então, existem 120 maneiras de retirar 3 bolas da urna.
Passo 3
Agora, vamos calcular quantas dessas maneiras resultam em todas as bolas da mesma cor. Vamos analisar cada cor separadamente.
a) Todas Brancas:
Temos 5 bolas brancas. Queremos escolher 3 delas:
Então, há 10 maneiras de retirar 3 bolas brancas.
b) Todas Pretas:
Temos 2 bolas pretas. Queremos escolher 3, mas isso não é possível porque só temos 2 bolas pretas. Portanto, 0 maneiras.
c) Todas Verdes:
Temos 3 bolas verdes. Queremos escolher todas elas:
Então, há 1 maneira de retirar 3 bolas verdes.
Passo 4
Agora, vamos somar todas as maneiras favoráveis:
Passo 5
Para encontrar a probabilidade, dividimos o número de maneiras favoráveis pelo número total de maneiras:
Resposta
A probabilidade de retirar três bolas da mesma cor é aproximadamente 9,17%.