Considere o sólido E limitado pelo cilindro x^2+y^2=9 e pelos planos z=0 e y+z=3.
(3,0) Calcule o volume de E.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume de um sólido $ E $ que é limitado por um cilindro $ x^{2} + y^{2} = 9 $ e pelos planos $ z = 0 $ e $ y + z = 3 $. Vamos usar cálculo integral para resolver isso. Precisaremos entender integração em coordenadas cilíndricas, já que temos um cilindro envolvido.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o sólido. O cilindro $ x^{2} + y^{2} = 9 $ é na verdade um cilindro vertical com raio 3. Os planos $ z = 0 $ é o plano xy, e $ y + z = 3 $ é um plano inclinado que intercepta o eixo z em $ z = 3 $.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas. Nessa coordenada, temos:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
E o elemento de volume é $ dV = r, dr, d\theta, dz $.

Passo 4

Determinar os limites de integração:
  • $ r $ varia de 0 a 3 (raio do cilindro).
  • $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $ (ao redor do cilindro completo).
  • Para $ z $, ele varia de 0 até onde o plano $ y + z = 3 $ está, ou seja, $ z = 3 - y = 3 - r\sin\theta $.

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume:
V = integral0^2pi integral0^3 integral0^3 - rsintheta r, dz, dr, dtheta

Passo 6

Vamos integrar em relação a $ z $ primeiro:
z
Então, a integral fica:
integral0^3 - rsintheta dz = 3 - rsintheta

Passo 7

Expandindo a expressão dentro da integral:
r (3 - rsintheta) = 3r - r^2sintheta
Portanto,
V = integral0^2pi integral0^3 (3r - r^2sintheta), dr, dtheta

Passo 8

Integrando em relação a $ r $:
r
integral0^3 3r, dr = 32 r^2 g|0^3 = 32 times 9 = 272
Então, a integral se torna:
integral0^3 r^2sintheta, dr = sintheta integral0^3 r^2, dr = sintheta times 273 = 9sintheta

Passo 9

Integrando em relação a $ \theta $:
theta
integral0^2pi 272, dtheta = 272 times 2pi = 27pi
Portanto, o volume é:
integral0^2pi 9sintheta, dtheta = 9 times 0 = 0

Resposta

O volume do sólido $ E $ é $ 27\pi $ unidades cúbicas.

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