Considere o sólido E limitado pelo cilindro
e pelos planos
e
.
Calcule o volume de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o volume de um sólido $ E $ que é limitado por um cilindro $ x^{2} + y^{2} = 9 $ e pelos planos $ z = 0 $ e $ y + z = 3 $. Vamos usar cálculo integral para resolver isso. Precisaremos entender integração em coordenadas cilíndricas, já que temos um cilindro envolvido.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o sólido. O cilindro $ x^{2} + y^{2} = 9 $ é na verdade um cilindro vertical com raio 3. Os planos $ z = 0 $ é o plano xy, e $ y + z = 3 $ é um plano inclinado que intercepta o eixo z em $ z = 3 $.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas cilíndricas. Nessa coordenada, temos:
E o elemento de volume é $ dV = r, dr, d\theta, dz $.
Passo 4
Determinar os limites de integração:
- $ r $ varia de 0 a 3 (raio do cilindro).
- $ \theta $ varia de 0 a $ 2\pi $ (ao redor do cilindro completo).
- Para $ z $, ele varia de 0 até onde o plano $ y + z = 3 $ está, ou seja, $ z = 3 - y = 3 - r\sin\theta $.
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume:
Passo 6
Vamos integrar em relação a $ z $ primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 7
Expandindo a expressão dentro da integral:
Portanto,
Passo 8
Integrando em relação a $ r $:
Então, a integral se torna:
Passo 9
Integrando em relação a $ \theta $:
Portanto, o volume é:
Resposta
O volume do sólido $ E $ é $ 27\pi $ unidades cúbicas.