Considere o sólido maciço delimitado pelo cilindro parabólico z=1-x^2 e pelos planos y=0, y=10 e z=0. Determine as coordenadas de seu centroide (considere a densidade constante rho ).
Dica: o sólido tem volume 403, logo sua massa é 40 rho3

Passo 1

O enunciado pede o centroide de um sólido de densidade constante limitado pelo cilindro parabólico z=1 - x^2, pelos planos y=0, y=10 e z=0. O conteúdo envolve o cálculo de centroide de um sólido via integrais triplas e conhecimento de simetria. Foi dada a dica de que o volume é V=tfrac403, logo a massa é M=tfrac40rho3.

Passo 2

Para coordenadas bar x e bar y:
Pela simetria do sólido em torno de x=0, temos
bar x = 1Vintegral tripla x,dV = 0
Como os limites de y são de 0 a 10 e independem de x e z, a média de y é simplesmente
bar y = 1V integral tripla y,dV = 1V l(integral-1^1integral0^1-x^2!dz,dxr) l(integral0^10y,dyr) = 1Vl(tfrac403r)l(tfrac10^22r) / 10 = 5
(Note que integral-1^1integral0^1-x^2dz,dx=tfrac43, e integral0^10y,dy=50.)

Passo 3

Para bar z usamos
bar z = 1Vintegral tripla z,dV
Primeiro integramos em z:
integral0^1-x^2 z,dz = (1-x^2)^22
Logo
integral tripla z,dV = integraly=0^10!integralx=-1^1 (1-x^2)^22 ,dx,dy = 10cdot12 integral-1^1(1 - 2x^2 + x^4),dx
Calculando:
integral-1^1(1 - 2x^2 + x^4),dx = 2 - 2cdot23 + 25 = 1615,
então
integral tripla z,dV = 10cdot12cdot1615 = 163
Assim
bar z = tfrac163tfrac403 = 1640 = 25

Passo 4

Concluímos que as coordenadas do centroide são dadas por (bar x,bar y,bar z) = (0,5,tfrac25).

Resposta

(0, 5, 2/5)

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