Considere o sólido maciço delimitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
e
. Determine as coordenadas de seu centroide (considere a densidade constante
).
Dica: o sólido tem volume
, logo sua massa é
Dica: o sólido tem volume
Passo 1
O enunciado pede o centroide de um sólido de densidade constante limitado pelo cilindro parabólico
, pelos planos
,
e
. O conteúdo envolve o cálculo de centroide de um sólido via integrais triplas e conhecimento de simetria. Foi dada a dica de que o volume é
, logo a massa é
.
Passo 2
Para coordenadas
e
:
Pela simetria do sólido em torno de , temos
Pela simetria do sólido em torno de
Como os limites de
são de 0 a 10 e independem de
e
, a média de
é simplesmente
(Note que
, e
.)
Passo 3
Para
usamos
Primeiro integramos em
:
Logo
Calculando:
então
Assim
Passo 4
Concluímos que as coordenadas do centroide são dadas por
.
Resposta
(0, 5, 2/5)