Determine a abscissa do centroide do tetraedro delimitado pelos planos coordenados e pelo plano
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para determinar a abscissa (a coordenada x) do centroide de um tetraedro definido pelos planos coordenados (os planos x=0, y=0 e z=0) e pelo plano
, onde
,
e
são números positivos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e cálculo de centroides em sólidos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um centroide. O centroide é o ponto que representa o “centro de massa” de um objeto, assumindo que a densidade seja uniforme. Para encontrar a coordenada x do centroide de um tetraedro, usamos a fórmula:
onde
é o volume do tetraedro e
é a abscissa do centroide.
Passo 3
Vamos calcular o volume
do tetraedro. A fórmula do volume de um tetraedro delimitado pelos planos coordenados e pelo plano
é:
Isso porque o tetraedro tem vértices nos pontos
,
,
e
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral
. Para isso, vamos parametrizar os limites de integração. Observando o plano
, podemos resolver para
:
Então, os limites para
vão de
até
, para
de
até
, e para
de
até
.
Passo 5
Montamos a integral tripla para
:
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Vamos distribuir o
:
Passo 7
Integramos agora em relação a
:
Substituindo os limites:
Passo 8
Simplificando os termos:
Após simplificar, a integral resulta em:
Passo 9
Agora, temos todos os componentes para calcular
:
Ops, parece que houve um erro na simplificação. Vamos refazer de maneira mais simples.
Na verdade, a integral
e o volume
. Então:
Na verdade, a abscissa do centroide de um tetraedro com vértices nos eixos é
.
Resposta
A abscissa do centroide do tetraedro é
.