Encontre a solução do problema de valor inicial
Passo 1
Beleza! Vamos resolver um problema de valor inicial que envolve equações diferenciais. O enunciado que temos é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar conhecer técnicas de solução de equações homogêneas e encontrar uma solução particular. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é obtida removendo o termo não homogêneo (aí, o
):
A solução geral dessa equação é uma combinação de funções trigonométricas:
Aqui,
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Como o lado direito é
, que é uma função não homogênea, vamos usar o método da variação de parâmetros para encontrar
.
Passo 4
Para aplicar a variação de parâmetros, primeiro identificamos as soluções da homogênea:
e
. A fórmula para a solução particular é:
onde
e
é o Wronskiano das soluções
e
.
Passo 5
Calculando o Wronskiano
:
Então,
.
Passo 6
Agora, substituímos na fórmula da solução particular:
Simplificamos
e
:
Então:
Passo 7
Calculando as integrais:
Substituindo de volta:
Passo 8
Então, a solução geral da equação é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Passo 9
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro,
:
Passo 10
Agora, calculamos a derivada de
para usar a segunda condição
:
Simplificando em
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: