Encontre a solução do problema de valor inicial
l y^prime prime+y=sec ^2 t y(0)=y^prime(0)=0

Passo 1

Beleza! Vamos resolver um problema de valor inicial que envolve equações diferenciais. O enunciado que temos é:
l y^prime prime + y = sec^2 t y(0) = y^prime(0) = 0
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar conhecer técnicas de solução de equações homogêneas e encontrar uma solução particular. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é obtida removendo o termo não homogêneo (aí, o sec^2 t):
y^prime prime + y = 0
A solução geral dessa equação é uma combinação de funções trigonométricas:
yh(t) = C1 cos t + C2 sin t
Aqui, C1 e C2 são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( yp(t)) para a equação completa:
y^prime prime + y = sec^2 t
Como o lado direito é sec^2 t, que é uma função não homogênea, vamos usar o método da variação de parâmetros para encontrar yp(t).

Passo 4

Para aplicar a variação de parâmetros, primeiro identificamos as soluções da homogênea: y1 = cos t e y2 = sin t. A fórmula para a solução particular é:
yp(t) = -y1(t) integral y2(t) cdot g(t)W dt + y2(t) integral y1(t) cdot g(t)W dt
onde g(t) = sec^2 t e W é o Wronskiano das soluções y1 e y2.

Passo 5

Calculando o Wronskiano W:
W = y1 y2' - y2 y1' = cos t cdot cos t - sin t cdot (-sin t) = cos^2 t + sin^2 t = 1
Então, W = 1.

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula da solução particular:
yp(t) = -cos t integral sin t cdot sec^2 t , dt + sin t integral cos t cdot sec^2 t , dt
Simplificamos sin t cdot sec^2 t e cos t cdot sec^2 t:
sin t cdot sec^2 t = sin t cdot 1cos^2 t = sin tcos^2 t = tan t sec t
cos t cdot sec^2 t = cos tcos^2 t = 1cos t = sec t
Então:
yp(t) = -cos t integral tan t sec t , dt + sin t integral sec t , dt

Passo 7

Calculando as integrais:
  1. integral tan t sec t , dt = sec t + C
  2. integral sec t , dt = ln |sec t + tan t| + C
Substituindo de volta:
yp(t) = -cos t (sec t) + sin t ln |sec t + tan t|
yp(t) = -1 + sin t ln |sec t + tan t|

Passo 8

Então, a solução geral da equação é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 cos t + C2 sin t - 1 + sin t ln |sec t + tan t|

Passo 9

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar C1 e C2.
Primeiro, y(0) = 0:
0 = C1 cos 0 + C2 sin 0 - 1 + sin 0 ln |sec 0 + tan 0|
0 = C1 cdot 1 + C2 cdot 0 - 1 + 0
C1 - 1 = 0 implies C1 = 1

Passo 10

Agora, calculamos a derivada de y(t) para usar a segunda condição y'(0) = 0:
y'(t) = -C1 sin t + C2 cos t + cos t ln |sec t + tan t| + sin t ( sec t tan t + sec^2 tsec t + tan t )
Simplificando em t = 0:
y'(0) = -1 cdot 0 + C2 cdot 1 + 1 cdot ln |1 + 0| + 0 = C2 + 0
C2 = 0

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
y(t) = cos t - 1 + sin t ln |sec t + tan t|

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