Esboce e determine o volume do sólido delimitado pelo cone z=raizx^2+y^2 e pelo paraboloide z=x^2+y^2.

Passo 1

O exercício pede o volume do sólido limitado pelo cone z=raizx^2+y^2 e pelo paraboloide z=x^2+y^2. Vamos usar integração tripla em coordenadas cilíndricas, pois as superfícies têm simetria circular.

Passo 2

Para encontrar a região de projeção no plano xy, igualamos as duas superfícies: raizx^2+y^2=x^2+y^2. Em coordenadas cilíndricas (r,theta,z), isso vira r=r^2, ou seja r=0 ou r=1. A projeção é o disco de raio 1.

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas o volume é
V=integral0^2piintegral0^1integralr^2^rr,dz,dr,dtheta
onde o fator r vem do jacobiano.

Passo 4

Primeiro integramos em z:
integralr^2^rr,dz=rl(zr)|z=r^2^z=r=rl(r-r^2r)=r^2-r^3

Passo 5

Agora integramos em r e theta:
V=integral0^2piintegral0^1(r^2-r^3),dr,dtheta =2piintegral0^1(r^2-r^3),dr =2pil[tfracr^33-tfracr^44r]0^1 =2pil(tfrac13-tfrac14r) =tfracpi6

Resposta

V=tfracpi6

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