Considere o sólido S, do primeiro octante, limitado pelo cilindro parabólico de equaçāo z= 4-x^2, o plano y=2-x e os planos coordenados, com densidade em cada ponto dada pela distância do ponto até a origem.
Escreva (sem calcular) a masa M(S) do sólido S como uma integral tripla iterada em coordenadas eilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede a massa do sólido S no primeiro octante limitado por z=4−x², pelo plano y=2−x e pelos planos coordenados, com densidade em cada ponto igual à distância até a origem. Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,θ,z).

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos x=r
cossθ, y=r
sinθ, z=z e a densidade δ(x,y,z)=√(x²+y²+z²) vira δ(r,θ,z)=√(r²+z²).

Passo 3

Os limites em θ vêm do primeiro octante: x≥0 e y≥0 ⇒ θ∈[0,π/2]. O plano y=2−x em cilíndricas dá r
sinθ=2−r
cossθ ⇒ r(sinθ+cosθ)=2 ⇒ r∈[0,2/(sinθ+cosθ)]. O cilindro parabólico z=4−x² vira z=4−r²
coss²θ, e z≥0.

Passo 4

O elemento de volume em cilíndricas é dV=r
dz
dr
dθ. Assim a massa M(S) fica como integral tripla iterada:
M(S)=integraltheta=0^pi/2integralr=0^2sintheta+costhetaintegralz=0^4 - r^2cos^2theta raizr^2+z^2;r;dz;dr;dtheta

Resposta

M(S)=integral0^pi/2integral0^2sintheta+costhetaintegral0^4 - r^2cos^2theta raizr^2+z^2;r;dz;dr;dtheta

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