Considere o sólido
, do primeiro octante, limitado pelo cilindro parabólico de equaçāo
, o plano
e os planos coordenados, com densidade em cada ponto dada pela distância do ponto até a origem.
Escreva (sem calcular) a masa
do sólido
como uma integral tripla iterada em coordenadas eilíndricas.
Escreva (sem calcular) a masa
Passo 1
O enunciado pede a massa do sólido S no primeiro octante limitado por z=4−x², pelo plano y=2−x e pelos planos coordenados, com densidade em cada ponto igual à distância até a origem. Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,θ,z).
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos x=r
cossθ, y=r
sinθ, z=z e a densidade δ(x,y,z)=√(x²+y²+z²) vira δ(r,θ,z)=√(r²+z²).
cossθ, y=r
sinθ, z=z e a densidade δ(x,y,z)=√(x²+y²+z²) vira δ(r,θ,z)=√(r²+z²).
Passo 3
Os limites em θ vêm do primeiro octante: x≥0 e y≥0 ⇒ θ∈[0,π/2]. O plano y=2−x em cilíndricas dá r
sinθ=2−r
cossθ ⇒ r(sinθ+cosθ)=2 ⇒ r∈[0,2/(sinθ+cosθ)]. O cilindro parabólico z=4−x² vira z=4−r²
coss²θ, e z≥0.
sinθ=2−r
cossθ ⇒ r(sinθ+cosθ)=2 ⇒ r∈[0,2/(sinθ+cosθ)]. O cilindro parabólico z=4−x² vira z=4−r²
coss²θ, e z≥0.
Passo 4
O elemento de volume em cilíndricas é dV=r
dz
dr
dθ. Assim a massa M(S) fica como integral tripla iterada:
dz
dr
dθ. Assim a massa M(S) fica como integral tripla iterada: