Considere o sólido S situado no primeiro octante do sistema coordenado e que é delimitado pelas superfícies de equações
9 x^2+100 y^2=900 e 3 x^2+10 z=300
Monte as integrais triplas, em coordenadas cartesianas, que permitem calcular o volume do sólido S, seguindo as ordens de integração indicadas abaixo e, após, responda aos seguintes itens:
c) Na ordem de integração dx dz dy, ou seja, em que x é a variável totalmente dependente, z é a variável parcialmente dependente e y é a variável independente, é necessário usar uma soma de duas integrais triplas para calcular o volume de S, cujos limitantes de integração, respectivamente, são dados por:

Parte 1:

i) x in[0, square
ii) z in[0, square
iii) y in[0, square

Parte 2:

iv) x in[0, square
v) z in[ square , square
vi) y in[0, square

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que envolve integrais triplas em coordenadas cartesianas. O objetivo é calcular o volume de um sólido $ S $ que está no primeiro octante do sistema de coordenadas. Esse sólido é limitado por duas superfícies dadas pelas equações:
S
A gente precisa montar as integrais triplas na ordem de $ dx , dz , dy $ para encontrar o volume desse sólido. Isso vai envolver definir os limites de integração para cada uma das variáveis $ x $, $ z $ e $ y $ em duas partes diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que definem as superfícies que limitam o sólido $ S $.
  1. Equação 1:
    S
    Essa é a equação de uma elipse no plano $ xy $.
  2. Equação 2:
    9x^2 + 100y^2 = 900
    Podemos resolver essa equação para $ z $ para facilitar:
    xy
    Essa é uma parábola que abre para baixo no eixo $ z $.
Como o sólido está no primeiro octante, sabemos que $ x \geq 0 $, $ y \geq 0 $ e $ z \geq 0 $.

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração para $ y $. Observando a equação da elipse:
y
Então, para $ y $, os limites vão de 0 até a interseção com a elipse. Simplificando:
9x^2 + 100y^2 = 900 implies 100y^2 = 900 - 9x^2 implies y^2 = 900 - 9x^2100 implies y = raiz900 - 9x^2100 = raiz9 - 0.09x^2 = 3 - 0.3x

Passo 4

Agora, vamos encontrar os limites para $ x $. Observando a equação da elipse quando $ y = 0 $:
x
Então, $ x $ varia de 0 a 10.
y = 0

Passo 5

Vamos determinar os limites para $ z $. A equação para $ z $ já está isolada:
z
Como $ z \geq 0 $, temos:
z
Então, para cada $ x $, $ z $ varia de 0 até $ 30 - 0.3x^{2} $.
z = 30 - 0.3x^2

Passo 6

Agora, juntando tudo, precisamos considerar que a região está dividida em duas partes para definir os limites adequadamente. Mas, como a integração está na ordem $ dx , dz , dy $, podemos manter uma única integral com os limites já estabelecidos.
Parte 1:
i) $ x \in [0, 10] $
ii) $ z \in [0, 30 - 0.3x^{2}] $
iii) $ y \in [0, 3] $
Parte 2:
Como não há necessidade de dividir a integral em duas partes no caso dessa configuração específica, os limites já cobrem toda a região. Portanto, a segunda parte não é necessária neste contexto.

Resposta

Parte 1:

i) $ x \in [0, 10] $
ii) $ z \in [0, 30 - 0.3x^{2}] $
iii) $ y \in [0, 3] $

Parte 2:

iv) Não aplicável (a integral não precisa ser dividida em duas partes)
v) Não aplicável
vi) Não aplicável
O volume do sólido $ S $ pode ser calculado utilizando a integral tripla definida por esses limites.

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