Considere o sólido
situado no primeiro octante do sistema coordenado e que é delimitado pelas superfícies de equações
Monte as integrais triplas, em coordenadas cartesianas, que permitem calcular o volume do sólido
, seguindo as ordens de integração indicadas abaixo e, após, responda aos seguintes itens:
c) Na ordem de integração
, ou seja, em que
é a variável totalmente dependente,
é a variável parcialmente dependente e
é a variável independente, é necessário usar uma soma de duas integrais triplas para calcular o volume de
, cujos limitantes de integração, respectivamente, são dados por:
Parte 1:
i)
,
ii)
,
iii)
,
Parte 2:
iv)
,
v)
,
vi)
,
c) Na ordem de integração
ii)
iii)
v)
vi)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo que envolve integrais triplas em coordenadas cartesianas. O objetivo é calcular o volume de um sólido $ S $ que está no primeiro octante do sistema de coordenadas. Esse sólido é limitado por duas superfícies dadas pelas equações:
A gente precisa montar as integrais triplas na ordem de $ dx , dz , dy $ para encontrar o volume desse sólido. Isso vai envolver definir os limites de integração para cada uma das variáveis $ x $, $ z $ e $ y $ em duas partes diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que definem as superfícies que limitam o sólido $ S $.
-
Equação 1:Essa é a equação de uma elipse no plano $ xy $.
-
Equação 2:Podemos resolver essa equação para $ z $ para facilitar:Essa é uma parábola que abre para baixo no eixo $ z $.
Como o sólido está no primeiro octante, sabemos que $ x \geq 0 $, $ y \geq 0 $ e $ z \geq 0 $.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração para $ y $. Observando a equação da elipse:
Então, para $ y $, os limites vão de 0 até a interseção com a elipse. Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os limites para $ x $. Observando a equação da elipse quando $ y = 0 $:
Então, $ x $ varia de 0 a 10.
Passo 5
Vamos determinar os limites para $ z $. A equação para $ z $ já está isolada:
Como $ z \geq 0 $, temos:
Então, para cada $ x $, $ z $ varia de 0 até $ 30 - 0.3x^{2} $.
Passo 6
Agora, juntando tudo, precisamos considerar que a região está dividida em duas partes para definir os limites adequadamente. Mas, como a integração está na ordem $ dx , dz , dy $, podemos manter uma única integral com os limites já estabelecidos.
Parte 1:
i) $ x \in [0, 10] $
ii) $ z \in [0, 30 - 0.3x^{2}] $
iii) $ y \in [0, 3] $
Parte 2:
Como não há necessidade de dividir a integral em duas partes no caso dessa configuração específica, os limites já cobrem toda a região. Portanto, a segunda parte não é necessária neste contexto.
Resposta
Parte 1:
i) $ x \in [0, 10] $
ii) $ z \in [0, 30 - 0.3x^{2}] $
iii) $ y \in [0, 3] $
Parte 2:
iv) Não aplicável (a integral não precisa ser dividida em duas partes)
v) Não aplicável
vi) Não aplicável
O volume do sólido $ S $ pode ser calculado utilizando a integral tripla definida por esses limites.