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Concept Check

  1. Consider w=f(x, y), where x=g(s, t) and y=h(s, t). Describe two ways of finding the partial derivatives partial w / partial s and partial w / partial t.

Passo 1

No passo 1 vamos entender o enunciado: temos uma função composta na qual w=f(x,y), com x=g(s,t) e y=h(s,t). O conteúdo envolvido é a regra da cadeia para derivadas parciais de funções de várias variáveis.

Passo 2

No passo 2 apresento o Método 1 – diferenciação direta da composição. Escrevemos
Para obter w(s,t)=fl(g(s,t),,h(s,t)) mantemos partial w/partial s fixo e aplicamos a regra da cadeia:
De forma análoga para t:
partial wpartial s=fxl(g(s,t),h(s,t)),partial gpartial s(s,t)+fyl(g(s,t),h(s,t)),partial hpartial s(s,t)

Passo 3

No passo 3 apresento o Método 2 – abordagem pelo diferencial total. Primeiro escrevemos o diferencial de w:
dw=fx,dx+fy,dy
Em seguida expandimos
dx=partial gpartial sds+partial gpartial tdt, dy=partial hpartial sds+partial hpartial tdt
Logo
dw=fxl(gs,ds+gt,dtr)+fyl(hs,ds+ht,dtr)
Agrupando termos em ds e dt obtemos de novo
partial wpartial s=fx gs+fy hs, partial wpartial t=fx gt+fy ht

Resposta

Os dois métodos são:
  1. Aplicar diretamente a regra da cadeia na composição w(s,t)=f(g(s,t),h(s,t)).
  2. Usar o diferencial total dw=fx,dx+fy,dy e expandir dx e dy em termos de ds e dt.
    Em ambos os casos chega-se aos resultados:
partial wpartial s=fx,gs+fy,hsepartial wpartial t=fx,gt+fy,ht

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