Considere o sólido
situado simultaneamente no interior de
e de
e
. Escreva
, em três sistemas de coordenadas distintas.
Passo 1
Temos um sólido S definido por duas superfícies: a esfera
(que é a esfera de raio 1 centrada em
) e o “cone” invertido
. A função a integrar é
. Vamos escrever
em coordenadas cartesiana, cilíndrica e esférica.
Passo 2
Para coordenadas cartesianas identificamos imediatamente S por
Logo,
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas fazemos
,
,
e o jacobiano é
. A esfera vira
↔
, e o “cone” é
. A curva de interseção dá
,
, de modo que para cada
:
Assim,
Passo 4
Em coordenadas esféricas usamos
,
,
e jacobiano . A esfera é
e o “cone” é
↔
.
Encontramos que as duas superfícies se cruzam em . Para
a base é o “cone” e para
a base é a esfera. Logo:
e jacobiano
Encontramos que as duas superfícies se cruzam em
Resposta
As três representações do integral são:
- Coordenadas cartesianas:
- Coordenadas cilíndricas:
- Coordenadas esféricas: