Considere o sólido S situado simultaneamente no interior de x^2+y^2+z^2=2 z e de z=2-raizx^2+y^2 e f(x, y, z)=e^x^2+y^2+z^2x+y+z. Escreva I=integral triplaS f(x, y, z) d V, em três sistemas de coordenadas distintas.

Passo 1

Temos um sólido S definido por duas superfícies: a esfera x^2+y^2+z^2=2z (que é a esfera de raio 1 centrada em (0,0,1)) e o “cone” invertido z=2-raizx^2+y^2. A função a integrar é f(x,y,z)=e^x^2+y^2+z^2x+y+z. Vamos escrever
I=integral triplaS f(x,y,z),dV
em coordenadas cartesiana, cilíndrica e esférica.

Passo 2

Para coordenadas cartesianas identificamos imediatamente S por
x^2+y^2+z^2<=2z, z<=2-raizx^2+y^2
Logo,
I=integral triplasubstackx^2+y^2+z^2<=2zz<=2-raizx^2+y^2 e^x^2+y^2+z^2x+y+z,dx,dy,dz

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas fazemos x=rcostheta, y=rsintheta, z=z e o jacobiano é r. A esfera vira
r^2+z^2=2z r^2+(z-1)^2=1, e o “cone” é z=2-r. A curva de interseção dá r=1, z=1, de modo que para cada 0<= r<=1:
zmin=1-raiz1-r^2, zmax=2-r
Assim,
I=integraltheta=0^2pi integralr=0^1 integralz=1-raiz1-r^2^2-r e^r^2+z^2rcostheta +rsintheta +z,r,dz,dr,dtheta

Passo 4

Em coordenadas esféricas usamos
x=rhosinphicostheta,
y=rhosinphisintheta,
z=rhocosphi
e jacobiano rho^2sinphi. A esfera é
rho=2cosphi e o “cone” é
rhocosphi=2-rhosinphi rho=2/(sinphi+cosphi).
Encontramos que as duas superfícies se cruzam em phi=pi/4. Para 0<=phi<=pi/4 a base é o “cone” e para pi/4<=phi<=pi/2 a base é a esfera. Logo:
I=integraltheta=0^2pigl[integralphi=0^pi/4integralrho=0^2sinphi+cosphi e^rho^2rho(sinphi(costheta+sintheta)+cosphi),rho^2sinphi,drho,dphi +integralphi=pi/4^pi/2integralrho=0^2cosphi e^rho^2rho(sinphi(costheta+sintheta)+cosphi),rho^2sinphi,drho,dphigr]dtheta

Resposta

As três representações do integral são:
  1. Coordenadas cartesianas:
I=integral triplasubstackx^2+y^2+z^2<=2zz<=2-raizx^2+y^2 e^x^2+y^2+z^2x+y+z,dx,dy,dz
  1. Coordenadas cilíndricas:
I=integral0^2pi!integral0^1!integral1-raiz1-r^2^2-r e^r^2+z^2rcostheta +rsintheta +z,r,dz,dr,dtheta
  1. Coordenadas esféricas:
I=integraltheta=0^2pigl[integralphi=0^pi/4!integral0^2sinphi+cosphi e^rho^2rho(sinphi(costheta+sintheta)+cosphi),rho^2sinphi,drho,dphi +integralphi=pi/4^pi/2!integral0^2cosphi e^rho^2rho(sinphi(costheta+sintheta)+cosphi),rho^2sinphi,drho,dphigr]dtheta

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