Questão-15 - (ENEM MEC)

Um grupo sanguíneo, ou tipo sanguíneo, baseia-se na presença ou ausência de dois antígenos, A e B, na superfície das células vermelhas do sangue. Como dois antígenos estão envolvidos, os quatro tipos sanguíneos distintos são:
  • Tipo A: apenas o antígeno A está presente;
  • Tipo B: apenas o antígeno B está presente;
  • Tipo AB : ambos os antígenos estão presentes;
  • Tipo O: nenhum dos antígenos está presente.
Disponível em: http://saude.hsw.uol.com.br. Acesso em: 15 abr. 2012 (adaptado).
Foram coletadas amostras de sangue de 200 pessoas e, após análise laboratorial, foi identificado que em 100 amostras está presente o antígeno A, em 110 amostras há presença do antígeno B e em 20 amostras nenhum dos antígenos está presente.
Dessas pessoas que foram submetidas à coleta de sangue, o número das que possuem o tipo sanguíneo A é igual a
a) 30 .
b) 60 .
c) 70 .
d) 90 .

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei todos os números do enunciado):
  • Total de pessoas: 200.
  • Número de amostras com antígeno A presente: 100.
  • Número de amostras com antígeno B presente: 110.
  • Número de amostras sem nenhum dos antígenos (nem A nem B): 20.
A pergunta é: o número de pessoas que possuem o tipo sanguíneo A (ou seja, têm o antígeno A e NÃO têm o antígeno B) é igual a quanto?

Passo 2

Definições e ideia básica (sem pular etapas):
  • Seja A o conjunto das pessoas com o antígeno A presente; então |A|=100.
  • Seja B o conjunto das pessoas com o antígeno B presente; então |B|=110.
  • Pessoas do tipo A são exatamente as que estão em A mas não em B, i.e., A\setminus B. O número procurado é |A\setminus B|.
  • Relação útil: |A\setminus B| = |A| - |A\cap B|. Ou seja, para saber quantos têm só A, preciso saber quantos têm ambos ( |A\cap B|).

Passo 3

Como encontrar |A\cap B|? Use a ideia do conjunto união e o princípio de contagem que corrige a dupla contagem:
  • A união A\cup B são as pessoas que têm pelo menos um dos antígenos.
  • A fórmula de inclusão-exclusão (explicando por que vale): ao somar |A|+|B| quem tem ambos foi contado duas vezes, então
|A\cup B| = |A| + |B| - |A\cap B|.
Isso nos dá uma equação que relaciona |A\cap B| aos demais números.

Passo 4

Usar a informação sobre quem não tem nenhum antígeno:
  • O número de pessoas que NÃO têm nenhum dos antígenos é |\text{nenhum}|=20.
  • Como o total é 200, temos
|A\cup B| = 200 - 20 = 180.
(ou seja, 180 pessoas têm pelo menos um dos antígenos).

Passo 5

Agora calcule |A\cap B| a partir da fórmula da inclusão-exclusão:
|A\cap B| = |A| + |B| - |A\cup B|.
Substituindo os valores:
|A\cap B| = 100 + 110 - 180 = 30.
Portanto 30 pessoas têm ambos os antígenos (tipo AB).

Passo 6

Finalmente, o número de pessoas do tipo A (só antígeno A) é
|A\setminus B| = |A| - |A\cap B| = 100 - 30 = 70.
Cheque rápido (confirmação): pessoas só A 70 + só B (110-30)=80 + ambos 30 + nenhum 20 = 70+80+30+20=200, bate com o total.

Resposta

c) 70

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