Questão-15 - (ENEM MEC)
Um grupo sanguíneo, ou tipo sanguíneo, baseia-se na presença ou ausência de dois antígenos, A e B, na superfície das células vermelhas do sangue. Como dois antígenos estão envolvidos, os quatro tipos sanguíneos distintos são:
- Tipo A: apenas o antígeno A está presente;
- Tipo B: apenas o antígeno B está presente;
- Tipo AB : ambos os antígenos estão presentes;
- Tipo O: nenhum dos antígenos está presente.
Disponível em: http://saude.hsw.uol.com.br. Acesso em: 15 abr. 2012 (adaptado).
Foram coletadas amostras de sangue de 200 pessoas e, após análise laboratorial, foi identificado que em 100 amostras está presente o antígeno A, em 110 amostras há presença do antígeno B e em 20 amostras nenhum dos antígenos está presente.
Dessas pessoas que foram submetidas à coleta de sangue, o número das que possuem o tipo sanguíneo A é igual a
a) 30 .
b) 60 .
c) 70 .
d) 90 .
Foram coletadas amostras de sangue de 200 pessoas e, após análise laboratorial, foi identificado que em 100 amostras está presente o antígeno A, em 110 amostras há presença do antígeno B e em 20 amostras nenhum dos antígenos está presente.
a) 30 .
b) 60 .
c) 70 .
d) 90 .
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (peguei todos os números do enunciado):
- Total de pessoas:
. - Número de amostras com antígeno A presente:
. - Número de amostras com antígeno B presente:
. - Número de amostras sem nenhum dos antígenos (nem A nem B):
.
A pergunta é: o número de pessoas que possuem o tipo sanguíneo A (ou seja, têm o antígeno A e NÃO têm o antígeno B) é igual a quanto?
Passo 2
Definições e ideia básica (sem pular etapas):
- Seja
o conjunto das pessoas com o antígeno A presente; então . - Seja
o conjunto das pessoas com o antígeno B presente; então . - Pessoas do tipo A são exatamente as que estão em
mas não em , i.e., . O número procurado é . - Relação útil:
. Ou seja, para saber quantos têm só A, preciso saber quantos têm ambos ( ).
Passo 3
Como encontrar
? Use a ideia do conjunto união e o princípio de contagem que corrige a dupla contagem:
- A união
são as pessoas que têm pelo menos um dos antígenos. - A fórmula de inclusão-exclusão (explicando por que vale): ao somar
quem tem ambos foi contado duas vezes, então
Isso nos dá uma equação que relaciona
aos demais números.
Passo 4
Usar a informação sobre quem não tem nenhum antígeno:
- O número de pessoas que NÃO têm nenhum dos antígenos é
. - Como o total é
, temos
(ou seja,
pessoas têm pelo menos um dos antígenos).
Passo 5
Agora calcule
a partir da fórmula da inclusão-exclusão:
Substituindo os valores:
Portanto
pessoas têm ambos os antígenos (tipo AB).
Passo 6
Finalmente, o número de pessoas do tipo A (só antígeno A) é
Cheque rápido (confirmação): pessoas só A
+ só B
+ ambos
+ nenhum
=
, bate com o total.
Resposta
c)