Use coordenadas cilíndricas para calcular:
\int_{W}\left(1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d V, \quad W: \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{W}\bigl(1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)\,dV
sobre a região W definida por
\sqrt{x^{2}+y^{2}}\le z\le 1.
Informações relevantes que temos:
  • A função a integrar é 1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A região W é dada pela desigualdade \sqrt{x^{2}+y^{2}}\le z\le 1; geometricamente é a parte do sólido limitada abaixo pelo cone z=r (onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}) e acima pelo plano z=1.
  • Queremos avaliar a integral tripla em (x,y,z). Não há nenhuma outra restrição explícita sobre (x,y), portanto espera-se usar simetria ao redor do eixo z.

Passo 2

Vamos usar coordenadas cilíndricas. Relembrando e explicando bem devagar:
  • Em coordenadas cilíndricas usa-se as variáveis (r,\theta,z) relacionadas a (x,y,z) por
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = z.
  • Aqui r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (distância ao eixo z), \theta é o ângulo no plano xy e z continua sendo a coordenada vertical.
  • O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Explicação do r: é o fator jacobiano que aparece porque um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximadamente r\,dr\,d\theta (o arco de ângulo d\theta tem comprimento r\,d\theta). Isso é fundamental: sempre multiplicar pela r ao trocar para cilíndricas.

Passo 3

Converter a descrição da região W para coordenadas cilíndricas.
  • Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, a condição \sqrt{x^{2}+y^{2}}\le z\le 1 fica simplesmente
r \le z \le 1.
  • Como z\le 1 e r\le z, segue que r\le 1. Além disso \theta percorre todo o círculo: 0\le\theta\le 2\pi.
  • Portanto os limites são:
0\le \theta\le 2\pi,\qquad 0\le r\le 1,\qquad r\le z\le 1.
Isso significa: para cada posição radial r (de 0 a 1) e cada ângulo \theta, z varia do cone z=r até o plano z=1.

Passo 4

Expressar a integral em coordenadas cilíndricas e montar os limites.
  • A função \sqrt{x^{2}+y^{2}} vira simplesmente r. Então o integrando 1+\sqrt{x^{2}+y^{2}} passa a ser 1+r.
  • Multiplicando pelo jacobiano r, o integrando em (r,\theta,z) fica (1+r)r.
  • Montando a integral com a ordem dz\,dr\,d\theta (primeiro integrar em z):
\int_{W}\bigl(1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{z=r}^{1} (1+r)\,r \,dz\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo.
  • Integrando primeiro em z: como (1+r)r não depende de z,
\int_{z=r}^{1} (1+r)r \,dz = (1+r)r\bigl(1 - r\bigr).
  • Simplificar (1+r)(1-r)=1-r^{2}. Multiplicando por r
(1+r)r(1-r) = r(1 - r^{2}) = r - r^{3}.
  • Agora a integral reduz-se a
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} (r - r^{3})\,dr\,d\theta.
  • Calcular a integral em r:
\int_{0}^{1} (r - r^{3})\,dr = \left[\tfrac{1}{2}r^{2}-\tfrac{1}{4}r^{4}\right]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{4}.
  • Por fim integrar em \theta:
\int_{0}^{2\pi} \tfrac{1}{4}\,d\theta = 2\pi\cdot\tfrac{1}{4}.

Resposta

\dfrac{\pi}{2}

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