Use coordenadas cilíndricas para calcular:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
sobre a região
definida por
Informações relevantes que temos:
- A função a integrar é
. - A região
é dada pela desigualdade ; geometricamente é a parte do sólido limitada abaixo pelo cone (onde ) e acima pelo plano . - Queremos avaliar a integral tripla em
. Não há nenhuma outra restrição explícita sobre , portanto espera-se usar simetria ao redor do eixo .
Passo 2
Vamos usar coordenadas cilíndricas. Relembrando e explicando bem devagar:
- Em coordenadas cilíndricas usa-se as variáveis
relacionadas a por
- Aqui
(distância ao eixo ), é o ângulo no plano e continua sendo a coordenada vertical. - O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
Explicação do
: é o fator jacobiano que aparece porque um pequeno retângulo em
tem área aproximadamente
(o arco de ângulo
tem comprimento
). Isso é fundamental: sempre multiplicar pela
ao trocar para cilíndricas.
Passo 3
Converter a descrição da região
para coordenadas cilíndricas.
- Como
, a condição fica simplesmente
- Como
e , segue que . Além disso percorre todo o círculo: . - Portanto os limites são:
Isso significa: para cada posição radial
(de
a
) e cada ângulo
,
varia do cone
até o plano
.
Passo 4
Expressar a integral em coordenadas cilíndricas e montar os limites.
- A função
vira simplesmente . Então o integrando passa a ser . - Multiplicando pelo jacobiano
, o integrando em fica . - Montando a integral com a ordem
(primeiro integrar em ):
Passo 5
Calcular a integral passo a passo.
- Integrando primeiro em
: como não depende de ,
- Simplificar
. Multiplicando por dá
- Agora a integral reduz-se a
- Calcular a integral em
:
- Por fim integrar em
: