Considere uma solução coloidal,
, num campo gravitacional a 300 K . Se a concentração do colóide é
no topo da solução e
fundo, calcule a concentração média do colóide nos
mais baixos da solução.
Passo 1
Beleza, então o enunciado é o seguinte: temos uma solução coloidal com massa molar M = 150 kg/mol a 300 K, num campo gravitacional padrão (g≈9,8 m/s²). A concentração medida no topo da solução é 0,00080 mol·L⁻¹ e, lá embaixo, é 0,0010 mol·L⁻¹. A pergunta é: qual a concentração média do colóide nos 0,10 m mais baixos da solução?
Matéria: equilíbrio barométrico (distribuição de Boltzmann) em solução coloidal. Vamos precisar da fórmula
c(z) = c(0)·exp[−(M·g·z)/(R·T)]
e depois integrar para achar a média num trecho de 0 a 0,10 m.
Matéria: equilíbrio barométrico (distribuição de Boltzmann) em solução coloidal. Vamos precisar da fórmula
c(z) = c(0)·exp[−(M·g·z)/(R·T)]
e depois integrar para achar a média num trecho de 0 a 0,10 m.
Passo 2
Primeiro, lembrando a teoria de equilíbrio barométrico: a concentração em função da altura z acima do fundo é
onde
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Definimos o coeficiente
Passo 3
A gente não sabe a altura total
da solução, mas sabe que na altura
(no topo) a concentração é 0,00080 e no fundo (z=0) é 0,0010. Então:
daí
Calculemos
$$k=\frac{150;{\rm kg/mol}\times9{,}8;{\rm m/s^2}}{8{,}314;{\rm J/(mol·K)}\times300;{\rm K}}
=\frac{1470}{2494{,}2}\approx0{,}589;{\rm m^{-1}},.
H=-\frac{\ln(0{,}8)}{0{,}589}\approx\frac{0{,}2231}{0{,}589}\approx0{,}379;{\rm m}.$$
Passo 4
Agora queremos a concentração média nos 0,10 m mais baixos, ou seja de
até
. A média é
$$\bar c=\frac{1}{0{,}10}\int_{0}^{0.10}c(z),dz
=\frac{1}{0{,}10}\int_{0}{0.10}c(0),e{-kz},dz,.
\int_{0}{0.10}e{-kz}dz=\frac{1}{k}\Bigl(1-e^{-k\cdot0.10}\Bigr)$$
então
Calculemos:
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Resposta
A concentração média nos 0,10 m mais baixos vale aproximadamente 9,7×10⁻⁴ mol·L⁻¹.