Considere uma solução coloidal, M=150 kg / mol, num campo gravitacional a 300 K . Se a concentração do colóide é 0,00080 mol / 1 no topo da solução e 0,0010 mol / 1 no fundo, calcule a concentração média do colóide nos 0,10 m mais baixos da solução.

Passo 1

Beleza, então o enunciado é o seguinte: temos uma solução coloidal com massa molar M = 150 kg/mol a 300 K, num campo gravitacional padrão (g≈9,8 m/s²). A concentração medida no topo da solução é 0,00080 mol·L⁻¹ e, lá embaixo, é 0,0010 mol·L⁻¹. A pergunta é: qual a concentração média do colóide nos 0,10 m mais baixos da solução?
Matéria: equilíbrio barométrico (distribuição de Boltzmann) em solução coloidal. Vamos precisar da fórmula
c(z) = c(0)·exp[−(M·g·z)/(R·T)]
e depois integrar para achar a média num trecho de 0 a 0,10 m.

Passo 2

Primeiro, lembrando a teoria de equilíbrio barométrico: a concentração em função da altura z acima do fundo é
c(z)=c(0),expl(-M,g,zR,Tr)
onde
- k=M,gR,T, é a concentração no fundo,
- é a massa molar (150 kg/mol),
- é a gravidade (9,8 m/s²),
- é a constante dos gases (8,314 J/(mol·K)),
- é a temperatura (300 K).
Definimos o coeficiente

Passo 3

A gente não sabe a altura total 0,00080 = 0,0010 ,exp(-k,H) da solução, mas sabe que na altura exp(-kH)=0,000800,0010=0,8 (no topo) a concentração é 0,00080 e no fundo (z=0) é 0,0010. Então:
-k,H=ln(0,8)Longrightarrow H=-ln(0,8)k,
daí
k=150;rm kg/moltimes9,8;rm m/s^28,314;rm J/(mol·K)times300;rm K =14702494,2approx0,589;rm m^-1,
H=-ln(0,8)0,589approx0,22310,589approx0,379;rm m
Calculemos :
$$k=\frac{150;{\rm kg/mol}\times9{,}8;{\rm m/s^2}}{8{,}314;{\rm J/(mol·K)}\times300;{\rm K}}
=\frac{1470}{2494{,}2}\approx0{,}589;{\rm m^{-1}},. ãH=-\frac{\ln(0{,}8)}{0{,}589}\approx\frac{0{,}2231}{0{,}589}\approx0{,}379;{\rm m}.$$

Passo 4

Agora queremos a concentração média nos 0,10 m mais baixos, ou seja de bar c=10,10integral0^0.10c(z),dz =10,10integral0^0.10c(0),e^-kz,dz, até integral0^0.10e^-kzdz=1kl(1-e^-kcdot0.10r). A média é
$$\bar c=\frac{1}{0{,}10}\int_{0}^{0.10}c(z),dz
=\frac{1}{0{,}10}\int_{0}{0.10}c(0),e{-kz},dz,. bar c =c(0)0,10cdot1-e^-kcdot0.10k =0,00100,10cdot1-exp(-0,589times0,10)0,589, \int_{0}{0.10}e{-kz}dz=\frac{1}{k}\Bigl(1-e^{-k\cdot0.10}\Bigr)$$
então
bar c = 0,00100,10,0,0570,589 =0,010;0,0570,589 approx0,010times0,097approx0,00097;rm mol/L
Calculemos:

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Resposta

A concentração média nos 0,10 m mais baixos vale aproximadamente 9,7×10⁻⁴ mol·L⁻¹.

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