A solução de um polímero tem uma concentração média,
, igual a
e uma massa molar média de
. A
a solução preenche um cilindro de 50 cm de altura. Quais são as concentrações do polímero no topo e no fundo do cilindro?
Passo 1
Beleza, vamos relembrar o que o enunciado pede. Temos uma solução de polímero com concentração média
e massa molar média
num cilindro de altura
m a
(isto é,
K).
A gente quer saber como a concentração varia do fundo pro topo por conta da gravidade. Isso é um exercício de equilíbrio químico em campo gravitacional, usando o conceito de potencial químico e a “lei barométrica” adaptada para soluto. Vamos precisar de:
A gente quer saber como a concentração varia do fundo pro topo por conta da gravidade. Isso é um exercício de equilíbrio químico em campo gravitacional, usando o conceito de potencial químico e a “lei barométrica” adaptada para soluto. Vamos precisar de:
- potencial químico em solução ideal:
, - condição de equilíbrio (
constante com ), - resolver a equação diferencial e ajustar pra dar a concentração média dada.
Passo 2
Começando a resolver de fato: em equilíbrio, a variação do potencial químico com a altura
é zero, ou seja
Desenvolvendo:
$$RT\frac{1}{c},\frac{dc}{dz} + M g = 0
;;\Longrightarrow;;
\frac{dc}{dz} = -\frac{M g}{RT},c(z).
\beta = \frac{M g}{R T}.$$
Passo 3
Integrando a equação
a gente obtém
onde
é a concentração no ponto
. Vamos chamar esse ponto de fundo do cilindro.
Agora a concentração média no cilindro é
Agora a concentração média no cilindro é
Como já sabemos
, isolamos
(concentração no fundo):
Passo 4
Bora colocar números:
-
, -
, -
, -
, -
.
Calculando
Logo
E no topo (
):
Resposta
Concentração no fundo:
Concentração no topo: .
Concentração no topo: