A solução de um polímero tem uma concentração média, , igual a 0,100 mol / m^3 e uma massa molar média de 20,0 kg / mol. A 25^circ C a solução preenche um cilindro de 50 cm de altura. Quais são as concentrações do polímero no topo e no fundo do cilindro?

Passo 1

Beleza, vamos relembrar o que o enunciado pede. Temos uma solução de polímero com concentração média
lang<= tilde crang<= = 0,100mol/m^3
e massa molar média
M = 20,0kg/mol
num cilindro de altura L=0,50,m a T=25^circ C (isto é, T=298,K).
A gente quer saber como a concentração varia do fundo pro topo por conta da gravidade. Isso é um exercício de equilíbrio químico em campo gravitacional, usando o conceito de potencial químico e a “lei barométrica” adaptada para soluto. Vamos precisar de:
  1. potencial químico em solução ideal: mu=mu^0 + RTln c + M g z,
  2. condição de equilíbrio ( mu constante com z),
  3. resolver a equação diferencial e ajustar pra dar a concentração média dada.

Passo 2

Começando a resolver de fato: em equilíbrio, a variação do potencial químico com a altura z é zero, ou seja
dmudz=0Rightarrow ddz[RTln c(z) + M g z]=0
Desenvolvendo:
$$RT\frac{1}{c},\frac{dc}{dz} + M g = 0
;;\Longrightarrow;;
\frac{dc}{dz} = -\frac{M g}{RT},c(z). RT1c,dcdz + M g = 0 ;;Longrightarrow;; dcdz = -M gRT,c(z)éçã\beta = \frac{M g}{R T}.$$

Passo 3

Integrando a equação dcc=-beta,dz a gente obtém
ln c(z) = -beta,z + constante ;;Longrightarrow;; c(z) = c(0),e^-beta z,
onde c(0) é a concentração no ponto z=0. Vamos chamar esse ponto de fundo do cilindro.
Agora a concentração média no cilindro é
lang<= tilde crang<= = 1Lintegral0^L c(z),dz = 1Lintegral0^L c(0),e^-beta z,dz = c(0),1 - e^-beta Lbeta L
Como já sabemos lang<= tilde crang<=, isolamos c(0) (concentração no fundo):
c(0) = lang<= tilde crang<= ;beta L,1 - e^-beta L,

Passo 4

Bora colocar números:
  • M=20,0kg/mol,
  • g=9,8m/s^2,
  • L=0,50 m,
  • R=8,314J/(mol,K),
  • T=298 K.
Calculando
beta L = M g LR T = 20,0cdot9,8cdot0,508,314cdot298 approx 0,0396
Logo
crm fundo = c(0) = 0,100,0,03961 - e^-0.0396 approx 0,1020mol/m^3
E no topo ( z=L):
crm topo = c(L) = c(0),e^-beta L approx 0,1020cdot e^-0.0396 approx 0,0981mol/m^3

Resposta

Concentração no fundo: 0,102mol/m^3
Concentração no topo: 0,0981mol/m^3.

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