Considere a solução estacionária da equação de Schrödinger para o poço de potencial infinito na questão anterior. Calcule a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer estado quântico n nos seguintes intervalos:
0 \leq x \leq a / 2.

Passo 1

O enunciado nos dá a solução estacionária do poço infinito (no intervalo [0,a]) e pede a probabilidade de encontrar a partícula, no estado quântico n, dentro do subintervalo 0 \leq x \leq a/2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função de onda estacionária (autofunção) para o poço de largura a é
\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)
para 0\le x\le a e \psi_n(x)=0 fora desse intervalo. (Estou pegando essa expressão como a solução estacionária clássica do poço infinito.)
  • A pergunta que precisamos responder é: qual é a probabilidade P_n de encontrar a partícula no intervalo 0\le x\le a/2 quando ela está no estado n?

Passo 2

Lembrete do que significa “probabilidade” nesse contexto e por que integrarmos o quadrado do módulo da função de onda.
A probabilidade de encontrar a partícula num intervalo [x_1,x_2] é dada por
P = \int_{x_1}^{x_2} |\psi(x)|^2\,dx.
Aqui |\psi(x)|^2 é a densidade de probabilidade — é a quantidade que integra ao total 1 em todo o poço (graças à normalização). No nosso caso queremos
P_n=\int_{0}^{a/2} |\psi_n(x)|^2\,dx.

Passo 3

Substituímos a função de onda explícita na expressão da probabilidade. Como \psi_n(x) é real nessa forma, |\psi_n(x)|^2=\psi_n(x)^2. Assim
P_n=\int_{0}^{a/2}\left(\sqrt{\frac{2}{a}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\right)^2 dx
que simplifica para
P_n=\frac{2}{a}\int_{0}^{a/2}\sin^2\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\,dx.

Passo 4

Para calcular a integral usamos a identidade trigonométrica
\sin^2\theta=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Aplicando com \theta=\dfrac{n\pi x}{a} temos
\sin^2\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)=\frac{1}{2}\Bigl(1-\cos\!\left(\frac{2n\pi x}{a}\right)\Bigr).
Substituindo na integral:
P_n=\frac{2}{a}\int_{0}^{a/2}\frac{1}{2}\Bigl(1-\cos\!\left(\frac{2n\pi x}{a}\right)\Bigr)\,dx
que fica
P_n=\frac{1}{a}\int_{0}^{a/2}\Bigl(1-\cos\!\left(\frac{2n\pi x}{a}\right)\Bigr)\,dx.

Passo 5

Agora calculamos a integral termo a termo. Primeiro o termo constante:
\frac{1}{a}\int_{0}^{a/2}1\,dx=\frac{1}{a}\cdot\frac{a}{2}=\frac{1}{2}.
O segundo termo é
-\frac{1}{a}\int_{0}^{a/2}\cos\!\left(\frac{2n\pi x}{a}\right)\,dx.
A primitiva de \cos\!\bigl(\frac{2n\pi x}{a}\bigr) em x é \dfrac{a}{2n\pi}\sin\!\left(\frac{2n\pi x}{a}\right). Avaliando entre 0 e a/2
\frac{a}{2n\pi}\Bigl[\sin\!\left(\frac{2n\pi}{a}\cdot\frac{a}{2}\right)-\sin(0)\Bigr] =\frac{a}{2n\pi}\sin(n\pi).
Mas \sin(n\pi)=0 para todo inteiro n. Portanto o segundo termo é zero. Juntando:
P_n=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}.

Passo 6

Interpretação intuitiva e comentário amigo: o resultado diz que, em qualquer estado estacionário n, a probabilidade de achar a partícula na metade esquerda do poço [0,a/2] é exatamente 1/2. Isso acontece porque o termo oscilante (o cosseno) contribui com uma integral nula entre 0 e a/2 — as oscilações somam zero — e o termo constante dá exatamente metade da normalização total. Em termos práticos: independente de n, a densidade |\psi_n|^2 tem “média” tal que metade da probabilidade fica em cada metade do poço.
Força aí — é um resultado elegante e que aparece com frequência em provas: quando você vê integrais de funções trigonométricas com argumentos múltiplos de \pi, verifique se as funções trigonométricas se anulam nas extremidades (aquelas \sin(n\pi) aparecem sempre).

Resposta

\dfrac{1}{2}

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