Considere a solução estacionária da equação de Schrödinger para o poço de potencial infinito na questão anterior. Calcule a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer estado quântico
nos seguintes intervalos:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a solução estacionária do poço infinito (no intervalo
) e pede a probabilidade de encontrar a partícula, no estado quântico
, dentro do subintervalo
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função de onda estacionária (autofunção) para o poço de largura
é
para
e
fora desse intervalo. (Estou pegando essa expressão como a solução estacionária clássica do poço infinito.)
- A pergunta que precisamos responder é: qual é a probabilidade
de encontrar a partícula no intervalo quando ela está no estado ?
Passo 2
Lembrete do que significa “probabilidade” nesse contexto e por que integrarmos o quadrado do módulo da função de onda.
A probabilidade de encontrar a partícula num intervalo
é dada por
Aqui
é a densidade de probabilidade — é a quantidade que integra ao total 1 em todo o poço (graças à normalização). No nosso caso queremos
Passo 3
Substituímos a função de onda explícita na expressão da probabilidade. Como
é real nessa forma,
. Assim
que simplifica para
Passo 4
Para calcular a integral usamos a identidade trigonométrica
Aplicando com
temos
Substituindo na integral:
que fica
Passo 5
Agora calculamos a integral termo a termo. Primeiro o termo constante:
O segundo termo é
A primitiva de
em
é
. Avaliando entre
e
dá
Mas
para todo inteiro
. Portanto o segundo termo é zero. Juntando:
Passo 6
Interpretação intuitiva e comentário amigo: o resultado diz que, em qualquer estado estacionário
, a probabilidade de achar a partícula na metade esquerda do poço
é exatamente
. Isso acontece porque o termo oscilante (o cosseno) contribui com uma integral nula entre
e
— as oscilações somam zero — e o termo constante dá exatamente metade da normalização total. Em termos práticos: independente de
, a densidade
tem “média” tal que metade da probabilidade fica em cada metade do poço.
Força aí — é um resultado elegante e que aparece com frequência em provas: quando você vê integrais de funções trigonométricas com argumentos múltiplos de
, verifique se as funções trigonométricas se anulam nas extremidades (aquelas
aparecem sempre).