Considere um poço de potencial infinito com soluções do tipo
, em que
. Mostre que as soluções são ortonormais, obedecendo entre si a relação
Passo 1
O enunciado nos dá as funções de onda no poço infinito no intervalo
:
A tarefa é mostrar que essas funções são ortonormais, ou seja, provar que a integral
vale
quando
e vale
quando
. Lembrete útil: a notação
representa o delta de Kronecker, que é
se
e
caso contrário.
Passo 2
Começamos escrevendo explicitamente a integral que queremos calcular. Definindo
substituindo as
obtemos
Colocando o fator fora da integral:
Passo 3
Usamos a identidade trigonométrica para produto de senos:
Aplicando com
e
obtemos
Substituindo na integral:
Simplificando o fator:
Passo 4
Avaliação das integrais do tipo
. A primitiva é
portanto, para
inteiro não nulo,
pois
para todo
.
Passo 5
Agora separe os casos:
- Caso
: então os dois valores e são inteiros não nulos. Pelas contas do passo anterior, ambas as integrais são zero, logo . - Caso
: a integral original torna-se
Usamos a identidade
para obter
A integral de
de
a
vale
. A integral do cosseno é zero (pela razão do passo 4, com
inteiro não nulo). Assim
Substituindo em
dá
Passo 6
Resumo didático e comentário prático: calculamos
e encontramos que
quando
e
quando
. A constante
na definição de
foi escolhida exatamente para garantir
(normalização). Isso mostra que o conjunto
é ortonormal no intervalo
. Vai dar tudo certo na prova — lembra que o truque padrão é usar as identidades trigonométricas e que integrais de
entre
e
desaparecem sempre que
é inteiro não nulo.