Considere um poço de potencial infinito com soluções do tipo \psi_{n}(x)=\sqrt{2 / L} \sin (n \pi x / L), em que n=1,2,3, \cdots. Mostre que as soluções são ortonormais, obedecendo entre si a relação
\int_{0}^{L} \psi_{m}(x) \psi_{n}(x) d x=\delta_{m, n}

Passo 1

O enunciado nos dá as funções de onda no poço infinito no intervalo [0,L]:
\psi_{n}(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right), \qquad n=1,2,3,\dots
A tarefa é mostrar que essas funções são ortonormais, ou seja, provar que a integral
\int_{0}^{L}\psi_{m}(x)\psi_{n}(x)\,dx
vale 1 quando m=n e vale 0 quando m\neq n. Lembrete útil: a notação \delta_{m,n} representa o delta de Kronecker, que é 1 se m=n e 0 caso contrário.

Passo 2

Começamos escrevendo explicitamente a integral que queremos calcular. Definindo
I_{m,n}=\int_{0}^{L}\psi_{m}(x)\psi_{n}(x)\,dx,
substituindo as \psi obtemos
I_{m,n}=\int_{0}^{L}\left(\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\!\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\right)\left(\sqrt{\frac{2}{L}}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right)\,dx.
Colocando o fator fora da integral:
I_{m,n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}\sin\!\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica para produto de senos:
\sin A\sin B=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos(A-B)-\cos(A+B)\bigr).
Aplicando com A=\dfrac{m\pi x}{L} e B=\dfrac{n\pi x}{L} obtemos
\sin\!\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) =\tfrac{1}{2}\Bigl(\cos\!\bigl(\tfrac{(m-n)\pi x}{L}\bigr)-\cos\!\bigl(\tfrac{(m+n)\pi x}{L}\bigr)\Bigr).
Substituindo na integral:
I_{m,n}=\frac{2}{L}\cdot\tfrac{1}{2}\int_{0}^{L}\Bigl(\cos\!\bigl(\tfrac{(m-n)\pi x}{L}\bigr)-\cos\!\bigl(\tfrac{(m+n)\pi x}{L}\bigr)\Bigr)\,dx.
Simplificando o fator:
I_{m,n}=\frac{1}{L}\left[\int_{0}^{L}\cos\!\bigl(\tfrac{(m-n)\pi x}{L}\bigr)\,dx-\int_{0}^{L}\cos\!\bigl(\tfrac{(m+n)\pi x}{L}\bigr)\,dx\right].

Passo 4

Avaliação das integrais do tipo \displaystyle\int_{0}^{L}\cos\!\bigl(\tfrac{k\pi x}{L}\bigr)\,dx. A primitiva é
\int \cos\!\left(\frac{k\pi x}{L}\right)\,dx=\frac{L}{k\pi}\sin\!\left(\frac{k\pi x}{L}\right),
portanto, para k inteiro não nulo,
\int_{0}^{L}\cos\!\left(\frac{k\pi x}{L}\right)\,dx=\frac{L}{k\pi}\bigl(\sin(k\pi)-\sin(0)\bigr)=\frac{L}{k\pi}\cdot 0 = 0,
pois \sin(k\pi)=0 para todo k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Agora separe os casos:
  • Caso m\neq n: então os dois valores k=m-n e k=m+n são inteiros não nulos. Pelas contas do passo anterior, ambas as integrais são zero, logo I_{m,n}=0.
  • Caso m=n: a integral original torna-se
I_{n,n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}\sin^{2}\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Usamos a identidade \sin^{2}a=\tfrac{1}{2}\bigl(1-\cos(2a)\bigr) para obter
\int_{0}^{L}\sin^{2}\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx =\tfrac{1}{2}\int_{0}^{L}\Bigl(1-\cos\!\bigl(\tfrac{2n\pi x}{L}\bigr)\Bigr)\,dx.
A integral de 1 de 0 a L vale L. A integral do cosseno é zero (pela razão do passo 4, com k=2n inteiro não nulo). Assim
\int_{0}^{L}\sin^{2}\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx=\tfrac{1}{2}L.
Substituindo em I_{n,n}
I_{n,n}=\frac{2}{L}\cdot \frac{1}{2}L=1.

Passo 6

Resumo didático e comentário prático: calculamos I_{m,n} e encontramos que I_{m,n}=0 quando m\neq n e I_{m,n}=1 quando m=n. A constante \sqrt{\dfrac{2}{L}} na definição de \psi_{n} foi escolhida exatamente para garantir I_{n,n}=1 (normalização). Isso mostra que o conjunto \{\psi_{n}\} é ortonormal no intervalo [0,L]. Vai dar tudo certo na prova — lembra que o truque padrão é usar as identidades trigonométricas e que integrais de \cos(k\pi x/L) entre 0 e L desaparecem sempre que k é inteiro não nulo.

Resposta

\delta_{m,n}

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