Determine se a função f, definida a seguir, é uma função contínua:
f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y^{2}}{x^{2}+2 y^{2}} & \text { se } \quad(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se } \quad(x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x y^{2}}{x^{2}+2y^{2}} & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0 & \text{se }(x,y)=(0,0).\end{cases}
A pergunta é: determinar se f é contínua (ou seja, se é contínua em todo \mathbb{R}^{2}).\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão de f(x,y) quando (x,y)\neq(0,0) é um quociente de polinômios.
  • O valor de f no ponto (0,0) é 0.
    O que precisamos verificar concretamente:
  • Se f é contínua em cada ponto (x_{0},y_{0})\neq(0,0).
  • Se f é contínua no ponto (0,0).]

Passo 2

Definição de continuidade que vamos usar (explicada bem devagar): uma função f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} é contínua em um ponto (x_{0},y_{0}) se
\lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})} f(x,y)=f(x_{0},y_{0}).
Isto significa: ao aproximar (x,y) de (x_{0},y_{0}) por qualquer caminho, os valores f(x,y) devem aproximar o valor dado f(x_{0},y_{0}). Para pontos onde a função é dada por quociente de polinômios, se o denominador ali for não nulo, então a função é contínua nesses pontos (porque soma, produto e quociente de funções polinomiais são contínuos onde o denominador não é zero).

Passo 3

Verificação da continuidade em pontos (x_{0},y_{0})\neq(0,0).
Observação: para qualquer ponto (x_{0},y_{0})\neq(0,0) temos
x_{0}^{2}+2y_{0}^{2}>0,
portanto a expressão \dfrac{x y^{2}}{x^{2}+2y^{2}} é um quociente de polinômios com denominador não nulo perto de (x_{0},y_{0}). Assim f é contínua em todo ponto (x_{0},y_{0})\neq(0,0). (Isso é direto: polinômios são contínuos e a divisão preserva continuidade quando o denominador não anula.)

Passo 4

Agora o ponto delicado: verificar continuidade em (0,0). Pela definição, precisamos mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}+2y^{2}} = 0,
pois f(0,0)=0. Se conseguirmos provar esse limite, então f será contínua em (0,0) e, junto com o passo anterior, contínua em toda \mathbb{R}^{2}.

Passo 5

Técnica conveniente: usar coordenadas polares. Escrevemos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
onde r\ge 0 e \theta\in\mathbb{R}. Ao aproximar (x,y)\to(0,0) equivale a fazer r\to 0^{+} (o ângulo \theta pode variar). Substituindo na expressão de f (para (x,y)\neq(0,0)) obtemos:
\frac{x y^{2}}{x^{2}+2y^{2}} = \frac{(r\cos\theta)\,(r\sin\theta)^{2}}{(r\cos\theta)^{2}+2(r\sin\theta)^{2}} = \frac{r^{3}\cos\theta\sin^{2}\theta}{r^{2}\big(\cos^{2}\theta+2\sin^{2}\theta\big)}.
Cancelando r^{2} (válido para r>0) dá
\frac{x y^{2}}{x^{2}+2y^{2}} = r\cdot\frac{\cos\theta\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta+2\sin^{2}\theta}.

Passo 6

Analisar o fator angular (dependente de \theta). Note que
\cos^{2}\theta+2\sin^{2}\theta = 1+\sin^{2}\theta,
pois \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1. Logo
1 \le \cos^{2}\theta+2\sin^{2}\theta \le 2,
então o denominador é sempre entre 1 e 2, nunca zero. Assim o quociente envolvendo \theta é uma função limitada de \theta. Em particular, para todo \theta
\left|\frac{\cos\theta\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta+2\sin^{2}\theta}\right| \le \frac{|\cos\theta|\sin^{2}\theta}{1} \le 1,
porque |\cos\theta|\le 1 e \sin^{2}\theta\le 1. Portanto existe uma constante M (por exemplo M=1) tal que para todo \theta
\left|\frac{\cos\theta\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta+2\sin^{2}\theta}\right|\le M.

Passo 7

Usando a expressão em coordenadas polares e a desigualdade do passo anterior, para r>0 temos
\left|\frac{x y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}\right| = r\left|\frac{\cos\theta\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta+2\sin^{2}\theta}\right| \le r\cdot M.
Com M=1 isso fica simplesmente
\left|\frac{x y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}\right|\le r.
Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, quando (x,y)\to(0,0) temos r\to 0. Pela desigualdade acima, o módulo da função fica preso entre 0 e r, e portanto tende a 0. Pelo teorema do confronto (squeeze), concluímos
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}+2y^{2}} = 0.

Passo 8

Conclusão: o limite em (0,0) coincide com o valor definido f(0,0)=0, então f é contínua em (0,0). Juntando com o passo 3, f é contínua em todo ponto de \mathbb{R}^{2}.

Resposta

A função f é contínua em \mathbb{R}^{2}.

Exercícios relacionados