Isto significa: ao aproximar (x,y) de (x_{0},y_{0}) por qualquer caminho, os valores f(x,y) devem aproximar o valor dado f(x_{0},y_{0}). Para pontos onde a função é dada por quociente de polinômios, se o denominador ali for não nulo, então a função é contínua nesses pontos (porque soma, produto e quociente de funções polinomiais são contínuos onde o denominador não é zero).
Passo 3
Verificação da continuidade em pontos (x_{0},y_{0})\neq(0,0).
Observação: para qualquer ponto (x_{0},y_{0})\neq(0,0) temos
x_{0}^{2}+2y_{0}^{2}>0,
portanto a expressão \dfrac{x y^{2}}{x^{2}+2y^{2}} é um quociente de polinômios com denominador não nulo perto de (x_{0},y_{0}). Assim f é contínua em todo ponto (x_{0},y_{0})\neq(0,0). (Isso é direto: polinômios são contínuos e a divisão preserva continuidade quando o denominador não anula.)
Passo 4
Agora o ponto delicado: verificar continuidade em (0,0). Pela definição, precisamos mostrar que
onde r\ge 0 e \theta\in\mathbb{R}. Ao aproximar (x,y)\to(0,0) equivale a fazer r\to 0^{+} (o ângulo \theta pode variar). Substituindo na expressão de f (para (x,y)\neq(0,0)) obtemos:
então o denominador é sempre entre 1 e 2, nunca zero. Assim o quociente envolvendo \theta é uma função limitada de \theta. Em particular, para todo \theta
porque |\cos\theta|\le 1 e \sin^{2}\theta\le 1. Portanto existe uma constante M (por exemplo M=1) tal que para todo \theta
\left|\frac{\cos\theta\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta+2\sin^{2}\theta}\right|\le M.
Passo 7
Usando a expressão em coordenadas polares e a desigualdade do passo anterior, para r>0 temos
\left|\frac{x y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}\right| = r\left|\frac{\cos\theta\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta+2\sin^{2}\theta}\right| \le r\cdot M.
Com M=1 isso fica simplesmente
\left|\frac{x y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}\right|\le r.
Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, quando (x,y)\to(0,0) temos r\to 0. Pela desigualdade acima, o módulo da função fica preso entre 0 e r, e portanto tende a 0. Pelo teorema do confronto (squeeze), concluímos
Conclusão: o limite em (0,0) coincide com o valor definido f(0,0)=0, então f é contínua em (0,0). Juntando com o passo 3, f é contínua em todo ponto de \mathbb{R}^{2}.