Encontre a solução da equação de Schrödinger independente do tempo e, posteriormente, a densidade de probabilidade, para uma partícula confinada num poço de potencial infinito V(x)\) descrito por \[V(x)= \begin{cases}0, & \text { se }-a / 2<x<a / 2 \\\ \infty, & \text { se } x \leq-a / 2 \text { ou } x \geq a / 2 .\end{cases}
Encontre também a energia (E_{n}] relacionada à partícula.

Passo 1

O enunciado dá um poço infinito simétrico centrado na origem com potencial
V(x)=\begin{cases}0,&\text{se }-a/2<x<a/2,\\[4pt]\infty,&\text{se }x\le -a/2\text{ ou }x\ge a/2.\end{cases}
O que o exercício pede:
  • Encontrar as soluções da equação de Schrödinger independente do tempo (autofunções \psi(x)) para a partícula confinada nesse poço.
  • Encontrar a densidade de probabilidade |\psi(x)|^2.
  • Encontrar os níveis de energia E_n.
Informações importantes do enunciado (usarei explicitamente): a região acessível à partícula é -a/2<x<a/2 (onde V=0); fora dessa região V=\infty e a função de onda deve ser zero nas paredes e fora.]

Passo 2

Escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo no interior do poço (onde V=0):
-\dfrac{\hbar^2}{2m}\,\dfrac{d^2\psi(x)}{dx^2}=E\,\psi(x).
Aqui:
  • \hbar é a constante reduzida de Planck,
  • m é a massa da partícula,
  • E é a energia (autovalor) associada a \psi,
  • \psi(x) é a função de onda a ser encontrada.
Condição de contorno imposta pelo poço infinito: a função de onda deve valer zero onde o potencial é infinito. Portanto
\psi\!\left(-\dfrac{a}{2}\right)=0,\qquad \psi\!\left(\dfrac{a}{2}\right)=0,
e \psi(x)=0 para |x|\ge a/2.

Passo 3

Transformo a equação diferencial em forma padrão. Multiplicando por -2m/\hbar^2 obtemos
\dfrac{d^2\psi}{dx^2} + k^2\psi = 0, \qquad\text{onde}\qquad k\equiv \dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar}.
Explicação do que é k: é o número de onda associado à solução oscilatória; \,k^2\propto E, então quantizar k equivale a quantizar a energia.

Passo 4

A solução geral da equação \psi''+k^2\psi=0 é a combinação linear de funções seno e cosseno:
\psi(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx),
onde A e B são constantes a determinar pelas condições de contorno. Essa forma vem da solução padrão de equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 5

Aplico as condições de contorno nas paredes x=\pm a/2\): \[\begin{cases} \psi\!\left(\dfrac{a}{2}\right)=A\cos\!\left(k\dfrac{a}{2}\right)+B\sin\!\left(k\dfrac{a}{2}\right)=0,\\[6pt] \psi\!\left(-\dfrac{a}{2}\right)=A\cos\!\left(k\dfrac{a}{2}\right)-B\sin\!\left(k\dfrac{a}{2}\right)=0. \end{cases}
Somando as duas equações dá 2A\cos\!\left(k\dfrac{a}{2}\right)=0\], logo \[A\cos\!\left(k\dfrac{a}{2}\right)=0.\] Subtraindo dá \(2B\sin\!\left(k\dfrac{a}{2}\right)=0, logo
B\sin\!\left(k\dfrac{a}{2}\right)=0.
Para obter solução não-trivial ( A e/ou B não simultaneamente zero) devemos ter uma das seguintes possibilidades:
  • \cos\!\left(k\dfrac{a}{2}\right)=0 com A\neq0 e então obrigatoriamente B=0.
  • \sin\!\left(k\dfrac{a}{2}\right)=0 com B\neq0 e então obrigatoriamente A=0.]

Passo 6

Estudo cada família de soluções e obtenho as condições de quantização de k.
  1. Caso \cos\!\left(k\dfrac{a}{2}\right)=0. Isso significa
k\dfrac{a}{2}=\dfrac{(2\ell+1)\pi}{2},\qquad \ell=0,1,2,\dots
Logo
k=\dfrac{(2\ell+1)\pi}{a}.
As funções de onda nessa família são proporcionais a \cos(kx) (funções pares).
  1. Caso \sin\!\left(k\dfrac{a}{2}\right)=0. Isso significa
k\dfrac{a}{2}=\ell\pi,\qquad \ell=1,2,3,\dots
( \ell=0 daria k=0 solução trivial). Portanto
k=\dfrac{2\ell\pi}{a}.
As funções de onda nessa família são proporcionais a \sin(kx) (funções ímpares).
Podemos unificar os dois conjuntos observando que todos os valores permitidos de k são
k_n=\dfrac{n\pi}{a},\qquad n=1,2,3,\dots
com as autofunções alternando paridade:
  • para n ímpar: \psi_n\propto\cos\!\left(\dfrac{n\pi x}{a}\right),
  • para n par: \psi_n\propto\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{a}\right).

Passo 7

Agora relaciono k à energia. A relação é
E=\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m}.
Substituindo k_n=\dfrac{n\pi}{a} obtemos os níveis de energia quantizados:
E_n=\dfrac{\hbar^2}{2m}\left(\dfrac{n\pi}{a}\right)^2 =\dfrac{\hbar^2\pi^2 n^2}{2 m a^2},\qquad n=1,2,3,\dots
Comentário físico curto: as energias crescem como n^2 e são discretas — consequência direta das condições de contorno do poço.

Passo 8

Normalização das autofunções. Vou calcular a constante de normalização N para as formas \cos e \sin. Exemplo genérico: para qualquer n com \psi_n(x)=N f_n(x) (onde f_n é \cos ou \sin), a normalização exige
\int_{-a/2}^{a/2} |\psi_n(x)|^2\,dx = 1 \quad\Rightarrow\quad N^2\int_{-a/2}^{a/2} f_n^2(x)\,dx = 1.
Calculo \int_{-a/2}^{a/2} \cos^2\!\left(\dfrac{n\pi x}{a}\right)dx. Usando identidade \cos^2\theta=\tfrac{1}{2}(1+\cos 2\theta):
\int_{-a/2}^{a/2}\cos^2\!\left(\dfrac{n\pi x}{a}\right)dx = \dfrac{1}{2}\int_{-a/2}^{a/2}dx + \dfrac{1}{2}\int_{-a/2}^{a/2}\cos\!\left(\dfrac{2n\pi x}{a}\right)dx.
A segunda integral é zero (a função cosseno completa um número inteiro de meias-oscilações simetricamente), então o resultado é a/2. Mesma conta vale para \sin^2. Portanto
N^2\cdot \dfrac{a}{2}=1 \quad\Rightarrow\quad N=\sqrt{\dfrac{2}{a}}.

Passo 9

Escrevo então as autofunções normalizadas (valendo apenas no interior do poço; fora valem zero):
Para n ímpar ( n=1,3,5,\dots):
\psi_n(x)=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\cos\!\left(\dfrac{n\pi x}{a}\right),\qquad -\dfrac{a}{2}<x<\dfrac{a}{2}.
Para n par ( n=2,4,6,\dots):
\psi_n(x)=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{a}\right),\qquad -\dfrac{a}{2}<x<\dfrac{a}{2}.
E para |x|\ge a/2 vale \psi_n(x)=0.

Passo 10

A densidade de probabilidade associada ao estado n\) é \[|\psi_n(x)|^2= \begin{cases} \dfrac{2}{a}\cos^2\!\left(\dfrac{n\pi x}{a}\right), & n\text{ ímpar, } -\dfrac{a}{2}<x<\dfrac{a}{2},\\[8pt] \dfrac{2}{a}\sin^2\!\left(\dfrac{n\pi x}{a}\right), & n\text{ par, } -\dfrac{a}{2}<x<\dfrac{a}{2},\\[6pt] 0,& |x|\ge\dfrac{a}{2}. \end{cases}
Observações práticas:
  • Para n=1\] (estado fundamental) a função é par e não tem nós interiores (apenas zeros nas paredes). - O número de nós internos (pontos onde \(\psi_n=0 dentro do poço) é n-1.
    - As densidades estão normalizadas: \int_{-a/2}^{a/2}|\psi_n(x)|^2dx=1.]

Passo 11

Resumo conceitual curto e incentivo: a quantização das energias e a forma ondulatória vieram das condições de contorno impostas pelo poço infinito. Na prova, siga esses passos: escrever a E.S.T., transformar em \psi''+k^2\psi=0, usar condições \psi(\pm a/2)=0, extrair os k_n, obter E_n e normalizar. Respire fundo — é um procedimento padrão e repetível!

Resposta

\psi_n(x)=\begin{cases}\displaystyle \sqrt{\dfrac{2}{a}}\cos\!\left(\dfrac{n\pi x}{a}\right), & n=1,3,5,\dots,\\\ -\dfrac{a}{2}<x<\dfrac{a}{2},\\[10pt]\displaystyle \sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\!\left(\dfrac{n\pi x}{a}\right), & n=2,4,6,\dots,\\\ -\dfrac{a}{2}<x<\dfrac{a}{2},\\[6pt]0,&|x|\ge\dfrac{a}{2}.\end{cases}
|\psi_n(x)|^2=\begin{cases}\displaystyle \dfrac{2}{a}\cos^2\!\left(\dfrac{n\pi x}{a}\right), & n=1,3,5,\dots,\\\ -\dfrac{a}{2}<x<\dfrac{a}{2},\\[10pt]\displaystyle \dfrac{2}{a}\sin^2\!\left(\dfrac{n\pi x}{a}\right), & n=2,4,6,\dots,\\\ -\dfrac{a}{2}<x<\dfrac{a}{2},\\[6pt]0,&|x|\ge\dfrac{a}{2}.\end{cases}
E_n=\dfrac{\hbar^2\pi^2 n^2}{2 m a^2},\qquad n=1,2,3,\dots]

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