Encontre a solução da equação de Schrödinger independente do tempo e, posteriormente, a densidade de probabilidade, para uma partícula confinada num poço de potencial infinito
Encontre também a energia (E_{n}] relacionada à partícula.
Passo 1
O enunciado dá um poço infinito simétrico centrado na origem com potencial
O que o exercício pede:
- Encontrar as soluções da equação de Schrödinger independente do tempo (autofunções
) para a partícula confinada nesse poço. - Encontrar a densidade de probabilidade
. - Encontrar os níveis de energia
.
Informações importantes do enunciado (usarei explicitamente): a região acessível à partícula é
(onde
); fora dessa região
e a função de onda deve ser zero nas paredes e fora.]
Passo 2
Escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo no interior do poço (onde
):
Aqui:
-
é a constante reduzida de Planck, -
é a massa da partícula, -
é a energia (autovalor) associada a , -
é a função de onda a ser encontrada.
Condição de contorno imposta pelo poço infinito: a função de onda deve valer zero onde o potencial é infinito. Portanto
e
para
.
Passo 3
Transformo a equação diferencial em forma padrão. Multiplicando por
obtemos
Explicação do que é
: é o número de onda associado à solução oscilatória;
, então quantizar
equivale a quantizar a energia.
Passo 4
A solução geral da equação
é a combinação linear de funções seno e cosseno:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições de contorno. Essa forma vem da solução padrão de equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 5
Aplico as condições de contorno nas paredes
Somando as duas equações dá
, logo
Para obter solução não-trivial (
e/ou
não simultaneamente zero) devemos ter uma das seguintes possibilidades:
-
com e então obrigatoriamente . -
com e então obrigatoriamente .]
Passo 6
Estudo cada família de soluções e obtenho as condições de quantização de
.
- Caso
. Isso significa
Logo
As funções de onda nessa família são proporcionais a
(funções pares).
- Caso
. Isso significa
(
daria
solução trivial). Portanto
As funções de onda nessa família são proporcionais a
(funções ímpares).
Podemos unificar os dois conjuntos observando que todos os valores permitidos de
são
com as autofunções alternando paridade:
- para
ímpar: , - para
par: .
Passo 7
Agora relaciono
à energia. A relação é
Substituindo
obtemos os níveis de energia quantizados:
Comentário físico curto: as energias crescem como
e são discretas — consequência direta das condições de contorno do poço.
Passo 8
Normalização das autofunções. Vou calcular a constante de normalização
para as formas
e
. Exemplo genérico: para qualquer
com
(onde
é
ou
), a normalização exige
Calculo
. Usando identidade
:
A segunda integral é zero (a função cosseno completa um número inteiro de meias-oscilações simetricamente), então o resultado é
. Mesma conta vale para
. Portanto
Passo 9
Escrevo então as autofunções normalizadas (valendo apenas no interior do poço; fora valem zero):
Para
ímpar (
):
Para
par (
):
E para
vale
.
Passo 10
A densidade de probabilidade associada ao estado
Observações práticas:
- Para
dentro do poço) é
.
- As densidades estão normalizadas:.]
Passo 11
Resumo conceitual curto e incentivo: a quantização das energias e a forma ondulatória vieram das condições de contorno impostas pelo poço infinito. Na prova, siga esses passos: escrever a E.S.T., transformar em
, usar condições
, extrair os
, obter
e normalizar. Respire fundo — é um procedimento padrão e repetível!