Ache a solução particular do problema de valor inicial utilizando a transformada de Laplace:
y^prime prime+9 y=10 e^-t, y^prime(0)=0, y(0)=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
y'' + 9y = 10 e^-t, y(0) = 0, y'(0) = 0
O objetivo é encontrar uma solução particular para essa equação usando a transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar aplicar as propriedades das transformadas de Laplace em funções e suas derivadas.

Passo 2

Vamos começar aplicando a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Como as condições iniciais são Ly'' = s^2 Y(s) e , a transformada da segunda derivada simplifica para:
Onde é a transformada de Laplace de .

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace em toda a equação:
s^2 Y(s) + 9Y(s) = 10 Le^-t
Sabemos que:
Le^-t = 1s + 1
Substituindo na equação:
s^2 Y(s) + 9Y(s) = 10s + 1

Passo 4

Fatorando Y(s)(s^2 + 9) = 10s + 1 no lado esquerdo da equação:
Y(s) = 10(s + 1)(s^2 + 9)
Isolando :

Passo 5

Para encontrar 10(s + 1)(s^2 + 9) = As + 1 + Bs + Cs^2 + 9 , precisamos fazer a transformada inversa de Laplace de 10 = A(s^2 + 9) + (Bs + C)(s + 1) . Para isso, vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 6

Para encontrar os valores de 10 = A((-1)^2 + 9) Rightarrow 10 = A(10) Rightarrow A = 1 , 10 = s^2 + 9 + Bs^2 + Bs + Cs + C e (1 + B)s^2 + (B + C)s + (9 + C) = 10 , vamos escolher valores estratégicos de :
  1. Para :
  1. Expandindo a equação:
Agrupando termos semelhantes:
Comparando os coeficientes:

Passo 7

Substituindo os valores encontrados:
Y(s) = 1s + 1 + -s + 1s^2 + 9
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace:
y(t) = L^-11s + 1 + L^-1-ss^2 + 9 + L^-11s^2 + 9
Sabemos que:
Aqui, .

Passo 8

Aplicando as transformadas inversas:
y(t) = e^-t - cos(3t) + 13 sin(3t)

Resposta

A solução particular do problema é:
yp(t) = e^-t - cos(3t) + 13 sin(3t)

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