Ache a solução particular do problema de valor inicial utilizando a transformada de Laplace:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
O objetivo é encontrar uma solução particular para essa equação usando a transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar aplicar as propriedades das transformadas de Laplace em funções e suas derivadas.
Passo 2
Vamos começar aplicando a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que:
Como as condições iniciais são
e
, a transformada da segunda derivada simplifica para:
Onde
é a transformada de Laplace de
.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace em toda a equação:
Sabemos que:
Substituindo na equação:
Passo 4
Fatorando
no lado esquerdo da equação:
Isolando
:
Passo 5
Para encontrar
, precisamos fazer a transformada inversa de Laplace de
. Para isso, vamos decompor
em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Para encontrar os valores de
,
e
, vamos escolher valores estratégicos de
:
- Para
:
- Expandindo a equação:
Agrupando termos semelhantes:
Comparando os coeficientes:
Passo 7
Substituindo os valores encontrados:
Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace:
Sabemos que:
Aqui,
.
Passo 8
Aplicando as transformadas inversas:
Resposta
A solução particular do problema é: