Considere a solução geral da equação da onda, com L=1, velocidade da onde c=1 e sujeita à condição de contorno u(0, t)=u(1, t)=0. E a condição inicial da corda é:
u(x, 0)=ll 2 x & se 0
Dica:
u(x, t)=sumn=1^infty[an cos (n pi c tL)+bn sen(n pi c tL)] sen(n pi xL)
an & =2L integral0^L f(x) sen(n pi xL) d x bn & =2n pi c integral0^L g(x) sen(n pi xL) d x

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação da onda em 1D com L=1, c=1 e condições de contorno u(0,t)=u(1,t)=0. A condição inicial é dada por f(x)=u(x,0), que é 2x para 0<x<1/2 e 0 para 1/2<x<1, e u_t(x,0)=g(x)=0. Vamos usar a série de Fourier senoidal dada na dica.

Passo 2

Como g(x)=0, todos os coeficientes b_n são nulos, já que
bn=2npi cintegral0^1g(x)sin(npi x),dx=0
Restam apenas os coeficientes a_n, definidos por
an=2integral0^1f(x)sin(npi x),dx

Passo 3

Como f(x)=2x em [0,1/2] e 0 em [1/2,1], temos
an=2integral0^1/22xsin(npi x),dx=4integral0^1/2xsin(npi x),dx

Passo 4

Para calcular I= integral0^1/2xsin(npi x),dx, usamos integração por partes: seja u=x, dv=\sin(n\pi x)dx, logo du=dx, v=-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}. Assim,
I=uv|0^1/2-integral0^1/2v,du=-xcos(npi x)npi|0^1/2+integral0^1/2cos(npi x)npi,dx

Passo 5

A segunda integral é
$$\int_0^{1/2}\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}dx=\frac{\sin(n\pi x)}{(n\pi)2}\Big|_0{1/2}.
integral0^1/2cos(npi x)npidx=sin(npi x)(npi)^2|0^1/2 I=-\frac{1/2\cos(\tfrac{n\pi}{2})}{n\pi}+\frac{\sin(\tfrac{n\pi}{2})}{(n\pi)^2}.
I=-1/2cos(tfracnpi2)npi+sin(tfracnpi2)(npi)^2 a_n=4I=-2\frac{\cos(\tfrac{n\pi}{2})}{n\pi}+4\frac{\sin(\tfrac{n\pi}{2})}{(n\pi)^2}.
$$

Passo 6

A solução geral é então
u(x,t)=sumn=1^inftyancos(npi t)sin(npi x),
com a_n dado acima e b_n=0.

Resposta

u(x,t)=sumn=1^inftyl(-2cos(tfracnpi2)npi+4sin(tfracnpi2)(npi)^2r)cos(npi t),sin(npi x)

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