Considere a solução geral da equação da onda, com
, velocidade da onde
e sujeita à condição de contorno
. E a condição inicial da corda é:
Dica:
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação da onda em 1D com L=1, c=1 e condições de contorno u(0,t)=u(1,t)=0. A condição inicial é dada por f(x)=u(x,0), que é 2x para 0<x<1/2 e 0 para 1/2<x<1, e u_t(x,0)=g(x)=0. Vamos usar a série de Fourier senoidal dada na dica.
Passo 2
Como g(x)=0, todos os coeficientes b_n são nulos, já que
Restam apenas os coeficientes a_n, definidos por
Passo 3
Como f(x)=2x em [0,1/2] e 0 em [1/2,1], temos
Passo 4
Para calcular I=
, usamos integração por partes: seja u=x, dv=\sin(n\pi x)dx, logo du=dx, v=-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}. Assim,
Passo 5
A segunda integral é
$$\int_0^{1/2}\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}dx=\frac{\sin(n\pi x)}{(n\pi)2}\Big|_0{1/2}.
$$
Passo 6
A solução geral é então
com a_n dado acima e b_n=0.