Resolva o problema de valor inicial utilizando transformada de Laplace:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=ll 0 & se t<0 1 & se t>0 y(0)=0 y^prime(0)=0

Passo 1

No primeiro passo, a gente resume o enunciado: precisamos resolver a EDO de segunda ordem com condições iniciais nulas e forçamento dado pela função degrau unitário. O conteúdo é transformada de Laplace para resolver equações lineares.

Passo 2

No segundo passo, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de y''+3y'+2y=u(t), lembrando que u(t)=1 para t>0 e as condições iniciais são zero. Usando L[y'']=s^2Y(s) e L[y']=sY(s), obtemos
(s^2+3s+2)Y(s)=1s

Passo 3

No terceiro passo, fatoramos o polinômio do denominador: s^2+3s+2=(s+1)(s+2). Então
Y(s)=1s(s+1)(s+2)

Passo 4

No quarto passo, fazemos frações parciais:
1s(s+1)(s+2)=As+Bs+1+Cs+2
Resolvendo, achamos A=1/2, B=-1 e C=1/2. Logo
Y(s)=12cdot1s - 1s+1 + 12cdot1s+2

Passo 5

No quinto passo, invertemos cada parcela pela tabela de transformadas: L^-1[1/s]=1, L^-1[1/(s+1)]=e^-t e L^-1[1/(s+2)]=e^-2t. Assim, para t>0:
y(t)=12 - e^-t + 12e^-2t

Resposta

y(t)=12 - e^-t + 12e^-2t, t>=0

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