Resolva o problema de valor inicial utilizando transformada de Laplace:
Passo 1
No primeiro passo, a gente resume o enunciado: precisamos resolver a EDO de segunda ordem com condições iniciais nulas e forçamento dado pela função degrau unitário. O conteúdo é transformada de Laplace para resolver equações lineares.
Passo 2
No segundo passo, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados de
, lembrando que
para
e as condições iniciais são zero. Usando
e
, obtemos
Passo 3
No terceiro passo, fatoramos o polinômio do denominador:
. Então
Passo 4
No quarto passo, fazemos frações parciais:
Resolvendo, achamos
Passo 5
No quinto passo, invertemos cada parcela pela tabela de transformadas:
,
e
. Assim, para
: