Calcule os seguintes limites:
, onde
é um número real.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcular o limite de
quando
tende a mais e menos infinito. Isso está relacionado com o estudo de limites envolvendo funções exponenciais, e vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e a definição do número
para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos focar no limite quando
tende a mais infinito:
. Para facilitar, vamos usar o logaritmo natural. Sabemos que:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
tende a mais infinito. Vamos usar a aproximação para
quando
é pequeno, ou seja,
. Como
tende a zero quando
vai para infinito, podemos aproximar:
Passo 4
Portanto, temos que:
Isso significa que:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite quando
tende a menos infinito:
. Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então quando
,
. A expressão fica:
Passo 6
Agora, observe que:
Isso é semelhante ao limite definido para
, já que:
Resposta
Portanto, para todo número real
, temos: