Calcule os seguintes limites:
lim x pm infty(1+bx)^x, onde b é um número real.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O exercício pede para calcular o limite de (1+bx)^x quando x tende a mais e menos infinito. Isso está relacionado com o estudo de limites envolvendo funções exponenciais, e vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e a definição do número e para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no limite quando x tende a mais infinito: limx +infty(1+bx)^x. Para facilitar, vamos usar o logaritmo natural. Sabemos que:
ln((1+bx)^x) = x cdot ln(1+bx)

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite de x cdot ln(1+bx) quando x tende a mais infinito. Vamos usar a aproximação para ln(1 + y) quando y é pequeno, ou seja, ln(1 + y) approx y. Como bx tende a zero quando x vai para infinito, podemos aproximar:
x cdot ln(1+bx) approx x cdot bx = b

Passo 4

Portanto, temos que:
limx +infty x cdot ln(1+bx) = b
Isso significa que:
limx +infty(1+bx)^x = e^b

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite quando x tende a menos infinito: limx -infty(1+bx)^x. Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja y = -x, então quando x -infty, y +infty. A expressão fica:
(1+b-y)^-y = (1 - by)^-y

Passo 6

Agora, observe que:
limy +infty(1 - by)^-y
Isso é semelhante ao limite definido para e^b, já que:
limy +infty(1 - by)^-y = e^b

Resposta

Portanto, para todo número real b, temos:
lim x pm infty(1+bx)^x = e^b

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