Considere a solução do oscilador harmônico simples:
x(t)=x0 cos (omega0 t)+v0omega0 sin (omega0 t)
É fácil concluir que a amplitude máxima de oscilação ocorre quando v(t)=0.
(a) Encontre a função velocidade v(t)=d x(t)d t.
(b) Defina a amplitude máxima A e a constante de fase phi em termos de x0, v0 e omega0.
(c) Mostre como reescrever a solução na forma simplificada:
x(t)=A cos (omega0 t-phi)

Passo 1

O enunciado nos dá a solução do oscilador harmônico simples
x(t)=x0cosl(omega0tr)+v0omega0sinl(omega0tr)
e pede: (a) a velocidade v(t)=dot x(t); (b) definir a amplitude máxima A e a fase phi em termos de x0,v0,omega0; (c) mostrar que
x(t)=Acosl(omega0t-phir)
Vamos usar derivação direta, identificar combinação trigonométrica e usar a identidade de cosseno de diferença de ângulos.

Passo 2

Para obter v(t)=dot x(t) derivamos cada termo de x(t):
ddtl[x0cos(omega0t)r] =-x0,omega0sin(omega0t),
ddtl[v0omega0sin(omega0t)r] =v0omega0;omega0cos(omega0t) =v0cos(omega0t)
Somando,
v(t)=dot x(t)=-x0,omega0sin(omega0t)+v0cos(omega0t)

Passo 3

Queremos escrever
x(t)=Acos(omega0t-phi) =Al[cosphicos(omega0t)+sinphisin(omega0t)r]
Comparando com
x(t)=x0cos(omega0t)+v0omega0sin(omega0t),
vemos que
Acosphi = x0, Asinphi = v0omega0
Dessas igualdades obtemos a amplitude e a fase:
A = raizx0^2+l(v0omega0r)^2, phi = arctan!l(v0/omega0x0r) =arctan!l(v0omega0x0r)

Passo 4

Usando Acosphi = x0 e Asinphi = v0/omega0 na identidade
Acosphicos(omega0t)+Asinphisin(omega0t) =Acos(omega0t-phi),
chegamos à forma simplificada
x(t)=Acosl(omega0t-phir)

Resposta

(a) v(t)=-x0,omega0sin(omega0t)+v0cos(omega0t)
(b) A=raizx0^2+l(tfracv0omega0r)^2, phi=arctan!l(tfracv0omega0x0r)
(c) x(t)=Acosl(omega0t-phir)

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