No instante
, um operário deixa cair um martelo de uma ponte;
depois outro operário lança uma ferramenta verticalmente para baixo. Uma pessoa que se encontra embaixo da ponte percebe que os dois objetos atingem o solo exatamente no mesmo instante. Sabendo se que o tempo de queda do martelo é de
e que a altura da ponte em relação ao solo é de
, (a) com que velocidade a ferramenta foi lançada? (b) Construa, para os dois objetos, os gráficos da posição y em função do tempo
e da velocidade v em função do tempo, no intervalo de 0 a 3,0s. (c) Existe algum instante em que os objetos possuem a mesma velocidade? Existe algum instante em que eles se encontram na mesma posição?
Passo 1
O enunciado trata de movimento uniformemente variado na vertical com aceleração da gravidade
. Um martelo é deixado cair do repouso do topo de uma ponte de altura
em
e leva
para atingir o solo. Uma ferramenta é lançada verticalmente para baixo
depois, da mesma altura, e chega ao solo exatamente junto com o martelo. Vamos calcular (a) a velocidade inicial de lançamento da ferramenta, (b) formular as equações e descrever os gráficos de posição
e velocidade
no intervalo
para os dois objetos e (c) verificar se há instante de mesmas velocidades ou de mesma posição antes do solo.
Passo 2
Para a ferramenta, o tempo de queda é
. Escolhendo para baixo sentido positivo, o deslocamento é
e vale
Calculando,
Passo 3
Para o martelo lançado em
(repouso inicial):
O gráfico de
é uma parábola que parte de
em
até
em
; o gráfico de
é uma reta crescente que vai de
a
.
Para a ferramenta, até
ela está em repouso na ponte:
Para
:
O gráfico de
é
até
e depois uma parábola deslocada; o gráfico de
é
até
e depois uma reta de inclinação
que vai de
a
.
Passo 4
Igualando velocidades para ver se existe
com
:
que é impossível. Logo, não há instante em que as velocidades sejam iguais.
Passo 5
Igualando posições para ver se existe
com
em
:
Expandindo e simplificando, chega-se a
Ou seja, só se encontram na mesma posição ao atingir o solo.
Resposta
(a)
(para baixo).
(b) Para o martelo:
(b) Para o martelo:
Para a ferramenta:
Os gráficos são, respectivamente, parábolas de concavidade para cima para
e retas de inclinação
para
, com a ferramenta ficando parada até
.
(c) Não existe instante com mesmas velocidades. Eles só ocupam a mesma posição em , ao chegarem ao solo.
(c) Não existe instante com mesmas velocidades. Eles só ocupam a mesma posição em