No instante t=0, um operário deixa cair um martelo de uma ponte; 1,0 s depois outro operário lança uma ferramenta verticalmente para baixo. Uma pessoa que se encontra embaixo da ponte percebe que os dois objetos atingem o solo exatamente no mesmo instante. Sabendo se que o tempo de queda do martelo é de 3,0 s e que a altura da ponte em relação ao solo é de 44,1 m, (a) com que velocidade a ferramenta foi lançada? (b) Construa, para os dois objetos, os gráficos da posição y em função do tempo t e da velocidade v em função do tempo, no intervalo de 0 a 3,0s. (c) Existe algum instante em que os objetos possuem a mesma velocidade? Existe algum instante em que eles se encontram na mesma posição?

Passo 1

O enunciado trata de movimento uniformemente variado na vertical com aceleração da gravidade g=9,8,m/s^2. Um martelo é deixado cair do repouso do topo de uma ponte de altura 44,1,m em t=0 e leva 3,0,s para atingir o solo. Uma ferramenta é lançada verticalmente para baixo 1,0,s depois, da mesma altura, e chega ao solo exatamente junto com o martelo. Vamos calcular (a) a velocidade inicial de lançamento da ferramenta, (b) formular as equações e descrever os gráficos de posição y(t) e velocidade v(t) no intervalo 0<= t<=3,0,s para os dois objetos e (c) verificar se há instante de mesmas velocidades ou de mesma posição antes do solo.

Passo 2

Para a ferramenta, o tempo de queda é De<a t=3,0-1,0=2,0,s. Escolhendo para baixo sentido positivo, o deslocamento é 44,1,m e vale
44,1 = v0,(2,0) + tfrac12,(9,8),(2,0)^2
Calculando,
44,1 = 2,v0 + 19,6 Longrightarrow 2,v0 = 44,1 - 19,6 = 24,5 Longrightarrow v0 = 12,25,m/s

Passo 3

Para o martelo lançado em t=0 (repouso inicial):
ym(t)=tfrac12,g,t^2 = 4,9,t^2, vm(t)=g,t = 9,8,t
O gráfico de ym é uma parábola que parte de 0 em t=0 até 44,1,m em t=3,0,s; o gráfico de vm é uma reta crescente que vai de 0 a 29,4,m/s.
Para a ferramenta, até t=1,0,s ela está em repouso na ponte:
yf(t)=0, vf(t)=0 (0<= t<1,0)
Para 1,0<= t<=3,0:
yf(t)=v0(t-1) + tfrac12,g,(t-1)^2 =12,25,(t-1) + 4,9,(t-1)^2,
vf(t)=v0 + g,(t-1) =12,25 + 9,8,(t-1)
O gráfico de yf é 0 até t=1 e depois uma parábola deslocada; o gráfico de vf é 0 até t=1 e depois uma reta de inclinação 9,8 que vai de 12,25 a 12,25+9,8cdot2=31,85,m/s.

Passo 4

Igualando velocidades para ver se existe t com vm(t)=vf(t):
9,8,t = 12,25 + 9,8,(t-1) ;Longrightarrow; 9,8,t = 9,8,t +12,25 -9,8 ;Longrightarrow; 0 = 2,45,
que é impossível. Logo, não há instante em que as velocidades sejam iguais.

Passo 5

Igualando posições para ver se existe t com ym(t)=yf(t) em t>=1:
4,9,t^2 = 12,25,(t-1) + 4,9,(t-1)^2
Expandindo e simplificando, chega-se a
0 = 2,45,t - 7,35 Longrightarrow t = 3,0,s
Ou seja, só se encontram na mesma posição ao atingir o solo.

Resposta

(a) v0=12,25,m/s (para baixo).
(b) Para o martelo:
ym(t)=4,9,t^2, vm(t)=9,8,t
Para a ferramenta:
yf(t)=0,;vf(t)=0(0<= t<1),
yf(t)=12,25,(t-1)+4,9,(t-1)^2, vf(t)=12,25+9,8,(t-1)(1<= t<=3)
Os gráficos são, respectivamente, parábolas de concavidade para cima para y(t) e retas de inclinação g para v(t), com a ferramenta ficando parada até t=1.
(c) Não existe instante com mesmas velocidades. Eles só ocupam a mesma posição em t=3,0,s, ao chegarem ao solo.

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