Considere um sistema massa-mola ideal, ou seja, sem dissipação de energia. De acordo com a Segunda Lei de Newton:
sendo
, com
e
.
(a) Suponha condições iniciais
e
. Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial.
(b) Qual é a interpretação física da solução obtida?
(c) Se
, qual é a amplitude máxima da oscilação?
(a) Suponha condições iniciais
(b) Qual é a interpretação física da solução obtida?
(c) Se
Passo 1
O enunciado nos dá o movimento de um sistema massa-mola sem atrito, regido pela equação
com
e condições iniciais
,
. O conteúdo é solução de equação diferencial linear de segunda ordem homogênea usando a transformada de Laplace.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo. Denotando
temos
Logo a equação transformada fica
Passo 3
Reunindo
obtemos
Passo 4
Fazendo a transformada inversa, usamos as fórmulas padrões
e
. Assim
Passo 5
Fisicamente essa solução descreve um movimento harmônico simples de frequência angular
, onde
é a posição inicial e
determina o desfasamento relativo entre o cosseno e o seno. Não há amortecimento, então a energia mecânica (soma de energia cinética e potencial) se conserva e a oscilação é perpétua.
Passo 6
Se
, a solução reduz-se a
A amplitude máxima dessa oscilação é o valor absoluto de
, ou seja
Resposta
Interpretação física: movimento harmônico simples sem amortecimento, frequência
e energia conservada.
Para , a amplitude máxima é
.
Para