Considere um sistema massa-mola ideal, ou seja, sem dissipação de energia. De acordo com a Segunda Lei de Newton:
m d^2 x(t)d t^2=-k x(t) ou d^2 x(t)d t^2+omega0^2 x(t)=0
sendo omega0=raizkm, com k>0 e m>0.
(a) Suponha condições iniciais x(0)=x0 e x^prime(0)= v0. Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial.
(b) Qual é a interpretação física da solução obtida?
(c) Se v0=0, qual é a amplitude máxima da oscilação?

Passo 1

O enunciado nos dá o movimento de um sistema massa-mola sem atrito, regido pela equação
d^2x(t)dt^2 + omega0^2,x(t) = 0,
com omega0 = raiztfrackm e condições iniciais x(0)=x0, x'(0)=v0. O conteúdo é solução de equação diferencial linear de segunda ordem homogênea usando a transformada de Laplace.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo. Denotando
X(s) = Lx(t),
temos
Llx''(t)r = s^2X(s) - s,x0 - v0
Logo a equação transformada fica
s^2X(s) - s,x0 - v0 + omega0^2,X(s) = 0

Passo 3

Reunindo X(s) obtemos
l(s^2 + omega0^2r),X(s) = s,x0 + v0 Longrightarrow X(s) = s,x0 + v0s^2 + omega0^2

Passo 4

Fazendo a transformada inversa, usamos as fórmulas padrões
L^-1tfracss^2+omega0^2 = cos(omega0t) e
L^-1tfrac1s^2+omega0^2 = tfrac1omega0sin(omega0t). Assim
x(t) = x0,cos(omega0t) + v0omega0,sin(omega0t)

Passo 5

Fisicamente essa solução descreve um movimento harmônico simples de frequência angular omega0, onde x0 é a posição inicial e v0 determina o desfasamento relativo entre o cosseno e o seno. Não há amortecimento, então a energia mecânica (soma de energia cinética e potencial) se conserva e a oscilação é perpétua.

Passo 6

Se v0=0, a solução reduz-se a
x(t) = x0,cos(omega0t)
A amplitude máxima dessa oscilação é o valor absoluto de x0, ou seja
A = lvert x0rvert

Resposta

x(t) = x0cos(omega0t) + v0omega0sin(omega0t)
Interpretação física: movimento harmônico simples sem amortecimento, frequência omega0 e energia conservada.
Para v0=0, a amplitude máxima é lvert x0rvert.

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