Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir?
cos(t) dy/dt + (3 cos(t) - sen(t)) y = t e^(-3 t), y(0) = -1
y(t) = (t^2 * e^(-3t)) / (2 * cos(t)) - (e^(-3t)) / (cos(t)).
d y(t) = (t * e^(-3 * t)) / (2 * cos(t)) - (e^(-3 * t)) / cos(t).
b y(t) = (t * e^(-3 * t) * sen(t)) / cos(t) - (2 * e^(-3 * t)) / cos(t) + e^(-3 * t).
e) y(t) = (t^2 e^(-3 t)) / (2 cos(t)) - 1.
C y = (e^(-3 t) * sen(t)) / cos(t) - (e^(-3 t)) / cos(t).
f y(t) = (t^2 * e^(-3t) * sen(t)) / cos(t) - (2 * e^(-3t)) / cos(t) + e^(-3t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial com condição inicial. Estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem, e precisamos encontrar a função que satisfaz a equação fornecida e a condição .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada:
Para resolver essa EDO, vamos simplificá-la dividindo tudo por , assumindo que :
Aqui, identificamos que é uma equação linear da forma , onde:

Passo 3

Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular a integral:
Ignoramos a constante de integração para o fator integrante. Assim,

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Isso ocorre porque o lado esquerdo se torna a derivada do produto .

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvemos para :
Simplificando a notação:

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Portanto, .

Passo 8

Substituímos de volta na expressão para :
Podemos escrever de forma mais organizada:

Resposta

A solução correta é:

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