Qual das alternativas representa a solução do problema de valor inicial dado a seguir?
.
d
.
b
.
e)
.
C
.
f
.
d
b
e)
C
f
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial com condição inicial. Estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem, e precisamos encontrar a função
que satisfaz a equação fornecida e a condição
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada:
Para resolver essa EDO, vamos simplificá-la dividindo tudo por
, assumindo que
:
Aqui, identificamos que é uma equação linear da forma
, onde:
Passo 3
Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular a integral:
Ignoramos a constante de integração
para o fator integrante. Assim,
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Isso ocorre porque o lado esquerdo se torna a derivada do produto
.
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvemos para
:
Simplificando a notação:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Portanto,
.
Passo 8
Substituímos
de volta na expressão para
:
Podemos escrever de forma mais organizada:
Resposta
A solução correta é: