Abaixo são dados pontos e retas. Considere-os como foco e diretriz de parábolas. Determine as equações e plote os gráficos (Geogebra).
F=(0,-1), r: y=1;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto chamado foco, que é , e uma reta chamada diretriz, que é . O conteúdo aqui é sobre parábolas, que são um tipo de curva geométrica. Para resolver, vamos precisar usar a definição de parábola: é o conjunto de pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz.

Passo 2

Vamos chamar um ponto qualquer da parábola de . Segundo a definição da parábola, a distância de até o foco deve ser igual à distância de até a diretriz .

Passo 3

Primeiro, calculamos a distância de d(P, F) = raiz(x - 0)^2 + (y - (-1))^2 = raizx^2 + (y + 1)^2 até o foco . Usando a fórmula da distância entre dois pontos:

Passo 4

Agora, calculamos a distância de d(P, r) = |y - 1| até a diretriz . Como a diretriz é uma reta horizontal, a distância é a diferença absoluta entre as coordenadas de e da diretriz:

Passo 5

Igualamos as duas distâncias para definir a equação da parábola:
raizx^2 + (y + 1)^2 = |y - 1|
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
x^2 + (y + 1)^2 = (y - 1)^2
Expandindo os termos:
x^2 + y^2 + 2y + 1 = y^2 - 2y + 1
Subtraindo x^2 + 4y = 0 de ambos os lados:
y = -14x^2
Isolando :

Resposta

A equação da parábola é . Você pode plotar esse gráfico usando o GeoGebra para visualizar a parábola que abre para baixo com o vértice na origem.

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