Considere a solução do PVI
dy/dt = f(y) ; y(0) = y0
Sabemos que se y0 > 2, então y(t) -> 2, quando t -> +infinito. Se 0 < y0 < a, então a solução se aproxima de 0 , quando t -> +infinito. Se y0 < 0, então a solução se aproxima de -2 , quando t -> +infinito. Para cada uma das funções f(y) abaixo, faça um esboço de f(y) e das soluções da equação diferencial dy/dt = f(y). Qual das alternativas representa a função f(y) do PVI acima?
a f(y) = -(y^3 - 2y^2)(y^2 + 4y + 4)
c f(y) = -(y^3 + 4y^2 + 4y)(y^2 - 4y + 4)
quadrado f(y) = - (y^3 + 2y^2)(y^2 - 4y + 4)
d f(y) = (y^3 - 4y^2 + 4y)(y^2 + 4y + 4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar qual das funções dadas corresponde à equação diferencial do problema inicial, onde sabemos o comportamento das soluções dependendo do valor inicial . Estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e precisamos analisar os pontos de equilíbrio e sua estabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os pontos para os quais as soluções tendem quando vai para mais infinito:
  • Se , .
  • Se , .
  • Se , .
Isso indica que , e são pontos de equilíbrio da EDO, ou seja, onde .

Passo 3

Agora, vamos verificar as opções de dadas e identificar os pontos onde :
a)
  • As raízes são , , e as raízes de , que dá .
c)
  • Raízes: , e raízes de , que dá .
d)
  • Raízes: , , e .
e)
  • Raízes: , (da parte , simplificando dá ), e .

Passo 4

Todas as opções têm , e como pontos de equilíbrio, exceto a opção d), que tem em vez de . Como no enunciado sabemos que tende a 2, 0 ou -2, a opção d) já não se encaixa.
Além disso, precisamos considerar a estabilidade desses pontos:
  • deve ser um ponto estável (solução tende para ele).
  • também deve ser estável.
  • deve ser estável.
Isso significa que, próximo desses pontos, a derivada deve ter sinais que direcionem as soluções para esses pontos.

Passo 5

Comparando as opções restantes:
  • Nas opções a), c) e d), todas têm os pontos de equilíbrio corretos, mas apenas a opção d) tem , que não é mencionado no enunciado.
  • A opção c) possui os pontos de equilíbrio corretos e a função está estruturada de forma que os sinais de direcionem as soluções para os pontos de equilíbrio conforme o comportamento descrito no enunciado.

Resposta

A alternativa que representa a função do PVI é:

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