Considere a solução do PVI
Sabemos que se
, então
, quando
. Se
, então a solução se aproxima de 0 , quando
. Se
, então a solução se aproxima de -2 , quando
. Para cada uma das funções
abaixo, faça um esboço de
e das soluções da equação diferencial
. Qual das alternativas representa a função
do PVI acima?
a
c
d
a
c
d
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar qual das funções
dadas corresponde à equação diferencial do problema inicial, onde sabemos o comportamento das soluções dependendo do valor inicial
. Estamos lidando com Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) e precisamos analisar os pontos de equilíbrio e sua estabilidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os pontos para os quais as soluções tendem quando
vai para mais infinito:
- Se
, . - Se
, . - Se
, .
Isso indica que
,
e
são pontos de equilíbrio da EDO, ou seja, onde
.
Passo 3
Agora, vamos verificar as opções de
dadas e identificar os pontos onde
:
a)
- As raízes são
, , e as raízes de , que dá .
c)
- Raízes:
, e raízes de , que dá .
d)
- Raízes:
, , e .
e)
- Raízes:
, (da parte , simplificando dá ), e .
Passo 4
Todas as opções têm
,
e
como pontos de equilíbrio, exceto a opção d), que tem
em vez de
. Como no enunciado sabemos que
tende a 2, 0 ou -2, a opção d) já não se encaixa.
Além disso, precisamos considerar a estabilidade desses pontos:
-
deve ser um ponto estável (solução tende para ele). -
também deve ser estável. -
deve ser estável.
Isso significa que, próximo desses pontos, a derivada
deve ter sinais que direcionem as soluções para esses pontos.
Passo 5
Comparando as opções restantes:
- Nas opções a), c) e d), todas têm os pontos de equilíbrio corretos, mas apenas a opção d) tem
, que não é mencionado no enunciado. - A opção c) possui os pontos de equilíbrio corretos e a função está estruturada de forma que os sinais de
direcionem as soluções para os pontos de equilíbrio conforme o comportamento descrito no enunciado.
Resposta
A alternativa que representa a função
do PVI é: