Encontre o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada pelo gráfico de y = 3x - x^3, pelo eixo y e pela reta y = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que é formado quando giramos a região limitada pelo gráfico da função , pelo eixo e pela reta em torno do eixo . Esse tipo de problema está relacionado com o cálculo de volumes de sólidos de revolução, usando técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região que vamos girar. Temos a função , o eixo e a reta . Para visualizar isso, é útil traçar o gráfico da função e identificar onde ela corta o eixo e onde ela cruza a reta .

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção entre e . Para isso, igualamos as duas expressões:
Resolvendo essa equação:
Fatorando, encontramos que e são soluções. Mas como estamos trabalhando com o eixo e provavelmente apenas com valores positivos de , vamos considerar .

Passo 4

Agora, sabemos que a região a ser girada está entre (eixo ) e , de a . Para calcular o volume por revolução em torno do eixo , vamos usar o método dos cilindros (ou método das cascas).

Passo 5

O método das cascas envolve integrar ao longo do eixo . A fórmula para o volume é:
onde é a altura da casca em cada ponto .

Passo 6

Aqui, é a diferença entre e . Então:

Passo 7

Agora, definimos os limites de integração e . Como estamos indo de até , temos:

Passo 8

Substituindo na fórmula do volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 9

Agora, integramos termo a termo:

Passo 10

Juntando tudo:
Como volume não pode ser negativo, descartamos o sinal negativo:

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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