Encontre o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo , da região limitada pelo gráfico de , pelo eixo e pela reta .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que é formado quando giramos a região limitada pelo gráfico da função , pelo eixo e pela reta em torno do eixo . Esse tipo de problema está relacionado com o cálculo de volumes de sólidos de revolução, usando técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região que vamos girar. Temos a função , o eixo e a reta . Para visualizar isso, é útil traçar o gráfico da função e identificar onde ela corta o eixo e onde ela cruza a reta .
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção entre e . Para isso, igualamos as duas expressões:
Resolvendo essa equação:
Fatorando, encontramos que e são soluções. Mas como estamos trabalhando com o eixo e provavelmente apenas com valores positivos de , vamos considerar .
Passo 4
Agora, sabemos que a região a ser girada está entre (eixo ) e , de a . Para calcular o volume por revolução em torno do eixo , vamos usar o método dos cilindros (ou método das cascas).
Passo 5
O método das cascas envolve integrar ao longo do eixo . A fórmula para o volume é:
onde é a altura da casca em cada ponto .
Passo 6
Aqui, é a diferença entre e . Então:
Passo 7
Agora, definimos os limites de integração e . Como estamos indo de até , temos:
Passo 8
Substituindo na fórmula do volume:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 9
Agora, integramos termo a termo:
Passo 10
Juntando tudo:
Como volume não pode ser negativo, descartamos o sinal negativo: