A partir da equação diferencial
cos(2t) dy/dt + (2cos(2t) - 2sen(2t))y = 2e^(-2t)cos(2t)
encontre a sua solução geral. Qual das alternativas representa a solução geral da equação?
a y(t) = (2 * e^(-2 * t) * sen(2 * t)) / cos(2 * t) + (c * e^(-2 * t)) / cos(2 * t)
e y(t) = e^(-2 t) sen(2 t) / cos(2 t) + c
b y(t) = (1/2) * (e^(-2t) * sen(2t) / cos(2t)) + c
f y(t) = -e^(-4t)/cos(2t) + c*e^(2t)/cos(2t)
C y(t) = 1/2 * (e^(-2 t) * sen(2 t) / cos(2 t)) + (c * e^(-2 t) / cos(2 t))
g y(t) = e^(-2t) * sen(2t) / cos(2t)
d y(t) = (1/2) * (e^(-2 t) * sen(2 t) / cos(2 t))
y(t) = (e^(-2 t) sen(2 t))/(cos(2 t)) + (c e^(-2 t))/(cos(2 t))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial e pede para encontrar a solução geral dela. Estamos lidando com equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial de forma padrão:
Para isso, dividimos toda a equação original por :
Aqui, identificamos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Calculando a integral de :
Então, o fator integrante é:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Calculando a integral:
Então:

Passo 6

Isolando :
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Portanto, a alternativa correta é a a.

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