Encontre a transformada de Laplace das funções
Passo 1
O que o problema pede: calcular a transformada de Laplace da função
, onde
é a função degrau unitário deslocada em
. Informações dadas: a função é zero para
e igual a
para
. A nossa missão é obter
.
Passo 2
Definição básica que vamos usar: a transformada de Laplace de uma função
é
desde que a integral converja. Aplicando diretamente à função dada, teríamos a integral
porque o fator
faz a integral começar em
. Mas existe um caminho mais prático usando o teorema do deslocamento no tempo — vamos seguir por ele porque é mais rápido e didático.
Passo 3
Primeiro passo algébrico útil: reescrever
em função de
. Usamos a identidade de soma de ângulos:
Sabendo que
e
, fica
Portanto podemos escrever a função dada como
Passo 4
Enunciado e demonstração do teorema de deslocamento no tempo (útil e fundamental): se
é uma função com transformada
, então
para
. Demonstração rápida: escrevemos a transformada pela definição,
Fazendo a mudança de variável
(então
e
), obtemos
Pronto — é exatamente isso que vamos usar.
Passo 5
Aplicando ao nosso caso: da Passo 3 temos
. Aqui
e
. Pelo teorema do deslocamento:
Passo 6
Calculamos
. Como a transformada é linear,
E a transformada conhecida (ou que podemos obter por integral) é
valendo para
. (Resumo rápido da obtenção:
; tomando a parte real obtém-se
.)
Passo 7
Substituindo em Passo 5:
Passo 8
Comentário final sobre a região de convergência: a expressão acima é válida para
, mesma região de convergência da transformada de
.