Encontre a transformada de Laplace das funções
\cos t u(t-\pi)

Passo 1

O que o problema pede: calcular a transformada de Laplace da função \cos t\,u(t-\pi), onde u(t-\pi) é a função degrau unitário deslocada em \pi. Informações dadas: a função é zero para t<\pi e igual a \cos t para t\ge\pi. A nossa missão é obter \mathcal{L}\{\cos t\,u(t-\pi)\}(s).

Passo 2

Definição básica que vamos usar: a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
desde que a integral converja. Aplicando diretamente à função dada, teríamos a integral
\int_{\pi}^{\infty} e^{-st}\cos t\,dt,
porque o fator u(t-\pi) faz a integral começar em t=\pi. Mas existe um caminho mais prático usando o teorema do deslocamento no tempo — vamos seguir por ele porque é mais rápido e didático.

Passo 3

Primeiro passo algébrico útil: reescrever \cos t em função de (t-\pi). Usamos a identidade de soma de ângulos:
\cos t=\cos\big((t-\pi)+\pi\big)=\cos(t-\pi)\cos\pi-\sin(t-\pi)\sin\pi.
Sabendo que \cos\pi=-1 e \sin\pi=0, fica
\cos t = -\cos(t-\pi).
Portanto podemos escrever a função dada como
\cos t\,u(t-\pi) = -\,u(t-\pi)\cos(t-\pi).

Passo 4

Enunciado e demonstração do teorema de deslocamento no tempo (útil e fundamental): se g(t) é uma função com transformada \mathcal{L}\{g(t)\}(s)=G(s), então
\mathcal{L}\{u(t-a)\,g(t-a)\}(s)=e^{-a s}G(s),
para a\ge 0. Demonstração rápida: escrevemos a transformada pela definição,
\mathcal{L}\{u(t-a)g(t-a)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} u(t-a) g(t-a)\,dt=\int_{a}^{\infty} e^{-st} g(t-a)\,dt.
Fazendo a mudança de variável \tau=t-a (então t=\tau+a e dt=d\tau), obtemos
\int_{0}^{\infty} e^{-s(\tau+a)} g(\tau)\,d\tau = e^{-as}\int_{0}^{\infty} e^{-s\tau} g(\tau)\,d\tau = e^{-as}G(s).
Pronto — é exatamente isso que vamos usar.

Passo 5

Aplicando ao nosso caso: da Passo 3 temos \cos t\,u(t-\pi) = -\,u(t-\pi)\cos(t-\pi). Aqui a=\pi e g(t)=-\cos t. Pelo teorema do deslocamento:
\mathcal{L}\{\cos t\,u(t-\pi)\}(s)=\mathcal{L}\{-u(t-\pi)\cos(t-\pi)\}(s)=e^{-\pi s}\,\mathcal{L}\{-\cos t\}(s).

Passo 6

Calculamos \mathcal{L}\{-\cos t\}(s). Como a transformada é linear,
\mathcal{L}\{-\cos t\}(s)=-\mathcal{L}\{\cos t\}(s).
E a transformada conhecida (ou que podemos obter por integral) é
\mathcal{L}\{\cos t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+1},
valendo para \operatorname{Re}(s)>0. (Resumo rápido da obtenção: \mathcal{L}\{e^{it}\}(s)=1/(s-i); tomando a parte real obtém-se \mathcal{L}\{\cos t\}(s)=\operatorname{Re}\!\big(1/(s-i)\big)=s/(s^{2}+1).)

Passo 7

Substituindo em Passo 5:
\mathcal{L}\{\cos t\,u(t-\pi)\}(s)=e^{-\pi s}\left(-\frac{s}{s^{2}+1}\right) = -\frac{s\,e^{-\pi s}}{s^{2}+1}.

Passo 8

Comentário final sobre a região de convergência: a expressão acima é válida para \operatorname{Re}(s)>0, mesma região de convergência da transformada de \cos t.

Resposta

-\dfrac{s\,e^{-\pi s}}{s^{2}+1}

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