Considere os subconjuntos abaixo, represente devidamente as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, depois classifique se S é subespaço vetorial.
S=\{(x, y) / y=2+x\}

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Representar explicitamente as operações usuais (adição de vetores e multiplicação por escalar) no conjunto S.
  • Dizer se S é subespaço vetorial (sim ou não) e justificar.
Informações dadas:
  • O conjunto é S=\{(x,y)\mid y=2+x\}. Ou seja, todos os pares (x,y) em que a segunda coordenada vale a primeira mais 2.

Passo 2

Primeiro, vou escrever como são as operações no espaço ambiente \mathbb{R}^2 (as operações que S herda):
  • Se u=(u_1,u_2) e v=(v_1,v_2) em \mathbb{R}^2, a adição é
u+v=(u_1+v_1,\;u_2+v_2).
  • Se \alpha\in\mathbb{R} e u=(u_1,u_2), a multiplicação por escalar é
\alpha u=(\alpha u_1,\;\alpha u_2).
Explicando as letras: u_1,u_2,v_1,v_2 são números reais (as coordenadas dos vetores) e \alpha é um número real (o escalar).
Para trabalhar em S é conveniente parametrizar um elemento genérico de S. Seja t\in\mathbb{R} o parâmetro; um elemento qualquer de S é
(t,\;t+2).
Isso significa que todo vetor em S tem a forma (x,\,x+2) com x qualquer.

Passo 3

Agora represento a adição entre dois elementos de S. Tome
u=(x_1,\;x_1+2)\in S,\qquad v=(x_2,\;x_2+2)\in S,
com x_1,x_2\in\mathbb{R}. Pela definição de adição em \mathbb{R}^2,
u+v=(x_1+x_2,\;(x_1+2)+(x_2+2)).
Somando as coordenadas:
u+v=(x_1+x_2,\;x_1+x_2+4).
Para que u+v pertença a S, a segunda coordenada tem que valer a primeira mais 2; isto é, precisaríamos ter
x_1+x_2+4 = (x_1+x_2)+2.
Mas isso exige 4=2, que é falso. Logo, em geral u+v\notin S. Conclusão: S não é fechado sob adição (exceto em casos triviais impossíveis).

Passo 4

Represento agora a multiplicação por escalar. Seja u=(x,\;x+2)\in S e \alpha\in\mathbb{R}. Então
\alpha u=(\alpha x,\;\alpha(x+2))=(\alpha x,\;\alpha x+2\alpha).
Para que \alpha u\in S seria necessário que a segunda coordenada fosse a primeira mais 2, ou seja
\alpha x+2\alpha = (\alpha x)+2.
Isso exige 2\alpha=2, ou seja \alpha=1. Portanto, somente para \alpha=1 (caso trivial) a multiplicação por escalar permanece em S. Em particular, para \alpha=0 obtém-se
0\cdot u=(0,0),
e (0,0) não pertence a S (ver passo seguinte). Assim, S não é fechado sob multiplicação por escalar em geral.

Passo 5

Verificação do vetor zero (critério rápido e simples): o vetor zero do espaço ambiente é (0,0). Para que (0,0) estivesse em S teria que valer
0 = 2 + 0,
ou seja 0=2, o que é falso. Portanto (0,0)\notin S.
Lembrete útil: um subespaço vetorial não pode deixar de conter o vetor zero; se o zero não está em S, S não é subespaço.

Passo 6

Resumo das evidências:
  • S não contém o vetor zero (0,0).
  • S não é fechado sob adição (soma de dois vetores em S produz uma diferença de 2 na segunda coordenada).
  • S não é fechado sob multiplicação por escalar (por exemplo, \alpha=0 leva a (0,0)\notin S).
Interpretação geométrica curta (para fixar a intuição): a equação y=x+2 é uma reta em \mathbb{R}^2 deslocada da origem (uma reta afim). Subespaços vetoriais que são retas em \mathbb{R}^2 devem passar pela origem; como esta reta não passa, ela não é subespaço.

Resposta

Adição: (x_1,\,x_1+2)+(x_2,\,x_2+2)=(x_1+x_2,\;x_1+x_2+4).\n
Multiplicação por escalar: \alpha(x,\,x+2)=(\alpha x,\;\alpha x+2\alpha).\n
Classificação: S não é subespaço vetorial de \mathbb{R}^2 (não contém o vetor zero e não é fechado sob adição nem multiplicação por escalar).

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