Considere os subconjuntos abaixo, represente devidamente as operações usuais de adição e multiplicação por escalar, depois classifique se
é subespaço vetorial.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Representar explicitamente as operações usuais (adição de vetores e multiplicação por escalar) no conjunto
. - Dizer se
é subespaço vetorial (sim ou não) e justificar.
Informações dadas:
- O conjunto é
. Ou seja, todos os pares em que a segunda coordenada vale a primeira mais .
Passo 2
Primeiro, vou escrever como são as operações no espaço ambiente
(as operações que
herda):
- Se
e em , a adição é
- Se
e , a multiplicação por escalar é
Explicando as letras:
são números reais (as coordenadas dos vetores) e
é um número real (o escalar).
Para trabalhar em
é conveniente parametrizar um elemento genérico de
. Seja
o parâmetro; um elemento qualquer de
é
Isso significa que todo vetor em
tem a forma
com
qualquer.
Passo 3
Agora represento a adição entre dois elementos de
. Tome
com
. Pela definição de adição em
,
Somando as coordenadas:
Para que
pertença a
, a segunda coordenada tem que valer a primeira mais
; isto é, precisaríamos ter
Mas isso exige
, que é falso. Logo, em geral
. Conclusão:
não é fechado sob adição (exceto em casos triviais impossíveis).
Passo 4
Represento agora a multiplicação por escalar. Seja
e
. Então
Para que
seria necessário que a segunda coordenada fosse a primeira mais
, ou seja
Isso exige
, ou seja
. Portanto, somente para
(caso trivial) a multiplicação por escalar permanece em
. Em particular, para
obtém-se
e
não pertence a
(ver passo seguinte). Assim,
não é fechado sob multiplicação por escalar em geral.
Passo 5
Verificação do vetor zero (critério rápido e simples): o vetor zero do espaço ambiente é
. Para que
estivesse em
teria que valer
ou seja
, o que é falso. Portanto
.
Lembrete útil: um subespaço vetorial não pode deixar de conter o vetor zero; se o zero não está em
,
não é subespaço.
Passo 6
Resumo das evidências:
-
não contém o vetor zero . -
não é fechado sob adição (soma de dois vetores em produz uma diferença de na segunda coordenada). -
não é fechado sob multiplicação por escalar (por exemplo, leva a ).
Interpretação geométrica curta (para fixar a intuição): a equação
é uma reta em
deslocada da origem (uma reta afim). Subespaços vetoriais que são retas em
devem passar pela origem; como esta reta não passa, ela não é subespaço.
Resposta
Adição:
\n
Multiplicação por escalar: \n
Classificação: não é subespaço vetorial de
(não contém o vetor zero e não é fechado sob adição nem multiplicação por escalar).
Multiplicação por escalar:
Classificação: