Dados os vetores
e
, determine a combinação linear para gerar o vetor:
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e pede para determinar uma combinação linear que gere
O que exatamente é pedido: encontrar escalares (números)
tais que
Informações relevantes dadas:
- As coordenadas de
(listadas acima). - As coordenadas de
. - Precisa-se dos escalares
.
Passo 2
Entendendo a tradução para equações: pedir
tais que
significa igualar coordenada a coordenada. Vou escrever isso componente por componente.
Se
,
,
e
, então as três equações (uma para cada coordenada) são:
Estas três equações formam um sistema linear com as incógnitas
. Nosso objetivo é resolver esse sistema.
Passo 3
Resolver o sistema: começo isolando uma incógnita da equação mais simples. A primeira equação é
Isolando
:
Explicação didática: escolher uma equação simples para expressar uma variável em função de outra facilita substituir nas demais. Aqui a primeira eq. não tem
, então é perfeita para expressar
em função de
.
Passo 4
Substituo
nas outras duas equações para reduzir o sistema para duas equações em
e
.
Na segunda equação:
substituindo
:
Faço as contas passo a passo:
dividindo por
:
Logo
Comentário: divisão por 4 é legal porque 4 é não nulo; isso simplifica os coeficientes.
Passo 5
Agora substituo
na terceira equação:
Substituindo
:
Calculo passo a passo:
Passo 6
Agora uso a expressão que já encontrei para
(do Passo 4):
. Substituo em
:
Faço as contas:
Comentário: aqui apareceu um número inteiro limpo; normalmente em sistemas podem aparecer frações, tudo bem — o método é o mesmo.
Passo 7
Com
volto às expressões anteriores para obter
e
.
Usando
:
Usando
:
Passo 8
Verificação rápida (sempre faça isso na prova para evitar erro de sinal): calcule
com os valores encontrados
.
Calculo coordenada a coordenada:
- Primeira coordenada:
- Segunda coordenada:
- Terceira coordenada:
As três coordenadas coincidem com
, então a solução está correta.