Dados os vetores \vec{v}_{1}=[-1,3,-5], \vec{v}_{2}=[0,4,1] e \vec{v}_{3}=[2,-2,3], determine a combinação linear para gerar o vetor: \vec{w}=[-4,4,2]

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{v}_{1}=[-1,3,-5],\qquad \vec{v}_{2}=[0,4,1],\qquad \vec{v}_{3}=[2,-2,3],
e pede para determinar uma combinação linear que gere
\vec{w}=[-4,4,2].
O que exatamente é pedido: encontrar escalares (números) \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2+\gamma\vec{v}_3=\vec{w}.
Informações relevantes dadas:
  • As coordenadas de \vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3 (listadas acima).
  • As coordenadas de \vec{w}.
  • Precisa-se dos escalares \alpha,\beta,\gamma.

Passo 2

Entendendo a tradução para equações: pedir \alpha,\beta,\gamma tais que \alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2+\gamma\vec{v}_3=\vec{w} significa igualar coordenada a coordenada. Vou escrever isso componente por componente.
Se \vec{v}_1=[-1,3,-5], \vec{v}_2=[0,4,1], \vec{v}_3=[2,-2,3] e \vec{w}=[-4,4,2], então as três equações (uma para cada coordenada) são:
-\alpha + 0\beta + 2\gamma = -4,
3\alpha + 4\beta -2\gamma = 4,
-5\alpha + \beta + 3\gamma = 2.
Estas três equações formam um sistema linear com as incógnitas \alpha,\beta,\gamma. Nosso objetivo é resolver esse sistema.

Passo 3

Resolver o sistema: começo isolando uma incógnita da equação mais simples. A primeira equação é
-\alpha + 2\gamma = -4.
Isolando \alpha:
-\alpha = -4 - 2\gamma \quad\Rightarrow\quad \alpha = 4 + 2\gamma.
Explicação didática: escolher uma equação simples para expressar uma variável em função de outra facilita substituir nas demais. Aqui a primeira eq. não tem \beta, então é perfeita para expressar \alpha em função de \gamma.

Passo 4

Substituo \alpha=4+2\gamma nas outras duas equações para reduzir o sistema para duas equações em \beta e \gamma.
Na segunda equação:
3\alpha + 4\beta -2\gamma = 4,
substituindo \alpha:
3(4+2\gamma)+4\beta-2\gamma=4.
Faço as contas passo a passo:
12+6\gamma+4\beta-2\gamma=4,
12+4\gamma+4\beta=4,
4\beta+4\gamma=4-12=-8,
dividindo por 4:
\beta+\gamma=-2.
Logo
\beta=-2-\gamma.
Comentário: divisão por 4 é legal porque 4 é não nulo; isso simplifica os coeficientes.

Passo 5

Agora substituo \alpha=4+2\gamma na terceira equação:
-5\alpha+\beta+3\gamma=2.
Substituindo \alpha:
-5(4+2\gamma)+\beta+3\gamma=2.
Calculo passo a passo:
-20-10\gamma+\beta+3\gamma=2,
\beta-7\gamma-20=2,
\beta-7\gamma=22.

Passo 6

Agora uso a expressão que já encontrei para \beta (do Passo 4): \beta=-2-\gamma. Substituo em \beta-7\gamma=22:
(-2-\gamma)-7\gamma=22.
Faço as contas:
-2-8\gamma=22,
-8\gamma=24,
\gamma=-3.
Comentário: aqui apareceu um número inteiro limpo; normalmente em sistemas podem aparecer frações, tudo bem — o método é o mesmo.

Passo 7

Com \gamma=-3 volto às expressões anteriores para obter \beta e \alpha.
Usando \beta=-2-\gamma:
\beta=-2-(-3)=-2+3=1.
Usando \alpha=4+2\gamma:
\alpha=4+2(-3)=4-6=-2.

Passo 8

Verificação rápida (sempre faça isso na prova para evitar erro de sinal): calcule \alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2+\gamma\vec{v}_3 com os valores encontrados \alpha=-2,\beta=1,\gamma=-3.
Calculo coordenada a coordenada:
  • Primeira coordenada: -2\cdot(-1)+1\cdot 0+(-3)\cdot 2 = 2+0-6 = -4.
  • Segunda coordenada: -2\cdot 3 + 1\cdot 4 + (-3)\cdot(-2) = -6+4+6 = 4.
  • Terceira coordenada: -2\cdot(-5) + 1\cdot 1 + (-3)\cdot 3 = 10+1-9 = 2.
As três coordenadas coincidem com [-4,4,2], então a solução está correta.

Resposta

\alpha=-2
\beta=1
\gamma=-3

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