Considere subconjuntos de Espaço Vetoriais Euclidiano R^n, a partir das definições de operações usuais, mostre se os subconjuntos abaixo são subespaços ou não:
S=(x, y) in R^2 mid x y=0

Passo 1

O enunciado define
S = (x,y)in R^2 mid xcdot y = 0,
e pede para decidir se S é subespaço de R^2.
Para isso, a teoria diz que basta verificar três propriedades:
  1. S contém o vetor zero;
  2. S é fechado sob multiplicação escalar;
  3. S é fechado sob adição de vetores.

Passo 2

Verificamos o vetor zero (0,0).
Como 0cdot 0 = 0, temos (0,0)in S.
Logo, a primeira propriedade está OK.

Passo 3

Pegue um vetor (x,y)in S, então xcdot y=0. Para qualquer escalar tin R, o produto coordenado de
t,(x,y) = (t,x,;t,y)
é
(t,x)cdot(t,y) = t^2,(xcdot y) = t^2cdot 0 = 0
Logo (t,x,t,y)in S, mostrando que S é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 4

Agora veja se S é fechado em somas. Considere
(1,0)in S porque 1cdot 0=0,
e
(0,1)in S porque 0cdot 1=0.
A soma é
(1,0) + (0,1) = (1,1),
mas
1cdot 1 = 1 neq 0,
portanto (1,1)notin S.
Isso quebra a propriedade de fechamento sob adição.

Resposta

S não é subespaço de R^2.

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