Considere subconjuntos de Espaço Vetoriais Euclidiano
, a partir das definições de operações usuais, mostre se os subconjuntos abaixo são subespaços ou não:
Passo 1
O enunciado define
e pede para decidir se
é subespaço de
.
Para isso, a teoria diz que basta verificar três propriedades:
Para isso, a teoria diz que basta verificar três propriedades:
-
contém o vetor zero; -
é fechado sob multiplicação escalar; -
é fechado sob adição de vetores.
Passo 2
Verificamos o vetor zero
.
Como , temos
.
Logo, a primeira propriedade está OK.
Como
Logo, a primeira propriedade está OK.
Passo 3
Pegue um vetor
, então
. Para qualquer escalar
, o produto coordenado de
é
Logo
, mostrando que
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 4
Agora veja se
é fechado em somas. Considere
porque
,
e
porque
.
A soma é
e
A soma é
mas
portanto
.
Isso quebra a propriedade de fechamento sob adição.
Isso quebra a propriedade de fechamento sob adição.