Como classificar a posição relativa entre duas retas no espaço tridimensional?

Passo 1

Vamos representar as duas retas em forma paramétrica. Seja
L1: P1 + t,u
e
L2: P2 + s,v,
onde P1 e P2 são pontos em cada reta e u e v são vetores diretores. O objetivo é usar u, v e o vetor ,P2-P1 para classificar a posição relativa.

Passo 2

Primeiro, verificamos se as retas são paralelas. As retas são paralelas se e somente se
u times v = 0
Nesse caso, u e v são vetores colineares.

Passo 3

Se u times v = 0, distingamos dois subcasos:
  • Coincidentes: os dois retas coincidem quando o vetor que liga um ponto a outro também é colinear com u. Ou seja,
(P2 - P1)times u = 0
  • Paralelas distintas: se u times v = 0 mas (P2 - P1)times u neq 0, então as retas são paralelas e não se tocam.

Passo 4

Se u times v neq 0, as retas não são paralelas. Para saber se elas se interceptam, resolvemos o sistema vetorial
P1 + t,u = P2 + s,v
Se existir par (t,s) que satisfaça essa igualdade, então as retas se intersectam em um ponto. Nesse caso dizemos que são concorrentes.

Passo 5

Se u times v neq 0 e o sistema do passo anterior não tiver solução, as retas não são paralelas nem se cruzam. Nesse cenário as retas são chamadas de reversas (ou skew): elas não estão no mesmo plano e não se tocam.

Resposta

As posições relativas possíveis são:
(a) coincidentes (mesma reta),
(b) paralelas distintas,
(c) concorrentes (intersectam-se num ponto),
(d) reversas (skew, não coplanares).

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