Como classificar a posição relativa entre duas retas no espaço tridimensional?
Passo 1
Vamos representar as duas retas em forma paramétrica. Seja
e
,
onde e
são pontos em cada reta e
e
são vetores diretores. O objetivo é usar
,
e o vetor
para classificar a posição relativa.
e
onde
Passo 2
Primeiro, verificamos se as retas são paralelas. As retas são paralelas se e somente se
Nesse caso,
e
são vetores colineares.
Passo 3
Se
, distingamos dois subcasos:
- Coincidentes: os dois retas coincidem quando o vetor que liga um ponto a outro também é colinear com
. Ou seja,
- Paralelas distintas: se
mas , então as retas são paralelas e não se tocam.
Passo 4
Se
, as retas não são paralelas. Para saber se elas se interceptam, resolvemos o sistema vetorial
Se existir par
que satisfaça essa igualdade, então as retas se intersectam em um ponto. Nesse caso dizemos que são concorrentes.
Passo 5
Se
e o sistema do passo anterior não tiver solução, as retas não são paralelas nem se cruzam. Nesse cenário as retas são chamadas de reversas (ou skew): elas não estão no mesmo plano e não se tocam.
Resposta
As posições relativas possíveis são:
(a) coincidentes (mesma reta),
(b) paralelas distintas,
(c) concorrentes (intersectam-se num ponto),
(d) reversas (skew, não coplanares).
(a) coincidentes (mesma reta),
(b) paralelas distintas,
(c) concorrentes (intersectam-se num ponto),
(d) reversas (skew, não coplanares).