Considere subconjuntos de Espaço Vetoriais Euclidiano
, a partir das definições de operações usuais, mostre se os subconjuntos abaixo são subespaços ou não:
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e pede para mostrarmos se
é um subespaço de
. O conteúdo da matéria é o conceito de subespaço vetorial, e vamos aplicar a definição que exige:
-
não pode estar vazio (deve conter o vetor zero). -
deve ser fechado sob soma de vetores. -
deve ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificação de que o vetor zero pertence a
.
O vetor zero em é
. Como
O vetor zero em
vemos que
satisfaz a condição
. Logo,
não é vazio.
Passo 3
Fechamento sob adição.
Sejam e
em
. Então
Sejam
A soma é
.
Somando as coordenadas:
Somando as coordenadas:
Portanto
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja e
, isto é,
. Então
Seja
e somando as coordenadas:
Logo
.