Considere subconjuntos de Espaço Vetoriais Euclidiano R^n, a partir das definições de operações usuais, mostre se os subconjuntos abaixo são subespaços ou não:
S=(x, y) in R^2 mid x+y=0

Passo 1

O enunciado define o conjunto
S = (x,y)inR^2 mid x+y=0
e pede para mostrarmos se S é um subespaço de R^2. O conteúdo da matéria é o conceito de subespaço vetorial, e vamos aplicar a definição que exige:
  1. S não pode estar vazio (deve conter o vetor zero).
  2. S deve ser fechado sob soma de vetores.
  3. S deve ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificação de que o vetor zero pertence a S.
O vetor zero em R^2 é (0,0). Como
0 + 0 = 0,
vemos que (0,0) satisfaz a condição x+y=0. Logo, S não é vazio.

Passo 3

Fechamento sob adição.
Sejam u=(x1,y1) e v=(x2,y2) em S. Então
x1 + y1 = 0 e x2 + y2 = 0
A soma é
u + v = (x1 + x2,,y1 + y2).
Somando as coordenadas:
(x1 + x2) + (y1 + y2) = (x1 + y1) + (x2 + y2) = 0 + 0 = 0
Portanto u+vin S.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja lambdainR e u=(x,y)in S, isto é, x+y=0. Então
lambdau = (lambda x,,lambda y)
e somando as coordenadas:
lambda x + lambda y = lambda(x+y) = lambdacdot 0 = 0
Logo lambdauin S.

Resposta

S é subespaço de R^2.

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