Considere subconjuntos de Espaço Vetoriais Euclidiano R^n, a partir das definições de operações usuais, mostre se os subconjuntos abaixo são subespaços ou não:
S=(x, y, z) in R^3 mid x in Z

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto
S = (x,y,z)in R^3 mid xin Z
e pede para testar se S é subespaço de R^3 com as operações usuais. Para isso usamos o critério de subespaço: (i) 0in S, (ii) fechamento em soma e (iii) fechamento em multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor nulo 0=(0,0,0) está em S. Aqui a componente x=0 e ,0inZ, logo
0in S

Passo 3

Testamos o fechamento em soma. Se u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2) estão em S, então x1,x2inZ. A soma é
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2)
Como Z é fechado sob adição, x1+x2inZ, logo u+vin S.

Passo 4

Testamos o fechamento em multiplicação por escalar. Seja alphainR e u=(x,y,z)in S com xinZ. Então
alpha,u=(alpha x,;alpha y,;alpha z)
Para que alphauin S precisaríamos de alpha xinZ para todo alphainR e xinZ. Mas, por exemplo, se alpha=tfrac12 e x=1, então alpha x=tfrac12notinZ. Portanto não há fechamento em multiplicação por escalar.

Resposta

S não é subespaço de R^3 porque falha o fechamento em multiplicação por escalar.

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