Explique o que significa dizer que
lim x 2^- f(x)=2 e lim x 2^+ f(x)=-2
Nesta situação, é possível que lim x 2 f(x) exista? Explique.

Passo 1

O enunciado afirma que
limxto 2^-f(x)=2 e limxto 2^+f(x)=-2
Aqui queremos (a) interpretar o significado dessas duas igualdades e (b) decidir se o limite bilateral limxto2f(x) existe.

Passo 2

A afirmação
limxto2^-f(x)=2
quer dizer que, ao fazermos x aproximar-se de 2 vindos pela esquerda (isto é, com x<2), os valores de f(x) ficam arbitrariamente próximos de 2. Formalmente:
para todo epsilon>0 existe de<a>0 tal que, sempre que
0<2-x<de<a,
então
|f(x)-2|<epsilon
De modo análogo,
limxto2^+f(x)=-2
significa que, ao aproximar x de 2 pela direita (com x>2), f(x) fica arbitrariamente próximo de -2. Formalmente:
para todo epsilon>0 existe de<a>0 tal que, sempre que
0<x-2<de<a,
então
|f(x)+2|<epsilon

Passo 3

Por definição, o limite bilateral
limxto2f(x)=L
existe se, e somente se,
limxto2^-f(x)=limxto2^+f(x)=L
Aqui temos uma contradição: o limite pela esquerda vale 2 e o limite pela direita vale -2, e claramente
2 neq -2
Logo, não há L comum aos dois lados.

Resposta

Não existe limxto2f(x), porque os limites laterais são diferentes.

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