Esboce o gráfico de um exemplo de uma função f que satisfaça a todas às condições dadas.
lim x 3^- f(x)=-1, lim x 3^+ f(x)=4, f(3)=2,\n lim x -2^- f(x)=5, lim x -2^+ f(x)=-1, f(-2) não está definido.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função f que tenha descontinuidades de salto em x=-2 e em x=3, satisfazendo:
limxto -2^-f(x)=5, limxto -2^+f(x)=-1, f(-2) não definido, ã
limxto 3^-f(x)=-1, limxto 3^+f(x)=4, f(3)=2
Vamos construir uma função em pedaços com segmentos horizontais, de modo que os limites laterais sejam constantes, e inserir os pontos ou ausência de ponto conforme pedido.

Passo 2

Definimos
f(x)= 5, & x<-2, -1, & -2<x<3, 2, & x=3, 4, & x>3
Além disso, em x=-2 deixamos f(-2) sem valor (não definido).

Passo 3

Verificamos os limites em x=-2:
limxto -2^-f(x)=5(pois para (x<-2), (f(x)=5)),
limxto -2^+f(x)=-1(pois para (-2<x<3), (f(x)=-1)),
e de fato f(-2) não existe.

Passo 4

Verificamos os limites em x=3:
limxto 3^-f(x)=-1(pois para (-2<x<3), (f(x)=-1)),
limxto 3^+f(x)=4(pois para (x>3), (f(x)=4)),
e definimos f(3)=2, garantindo o ponto isolado.

Passo 5

No esboço do gráfico:
– Para x<-2, desenhe uma linha horizontal em y=5 e, ao chegar em x=-2, coloque um círculo aberto em (-2,5).
– Para -2<x<3, desenhe uma linha horizontal em y=-1 com um círculo aberto em (-2,-1) e outro em (3,-1).
– Em x=3, coloque um ponto preenchido em (3,2).
– Para x>3, desenhe uma linha horizontal em y=4 com círculo aberto em (3,4).

Resposta

Um esboço compatível com a definição
f(x)= 5, & x<-2, -1, & -2<x<3, 2, & x=3, 4, & x>3,
com f(-2) não definido, satisfaz todas as condições de limites e valor em x=3.

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