Sejam
e
dois subespaços do espaço vetorial
, tais que
e
. Se
é base de
e
é base de
, mostre que:
(a) Se
, então
só é combinação linear de
se
.
(b) Se
e
, então
é LI.
(c)
é LI.
(d)
é uma base de
.
(e)
.
(a) Se
(b) Se
(c)
(d)
(e)
Passo 1
O enunciado dá dois subespaços
e
de um espaço vetorial
tais que
e
As bases são
de
e
de
. Precisamos usar definições de combinação linear, independência linear e a propriedade de soma direta (interseção trivial) para provar os itens (a)–(e).
Passo 2
Queremos (a) mostrar que, se
e
então
. Note que a combinação
está em
, mas
, logo
. Como essa interseção é
, segue
.
Passo 3
Para (b) tomemos
,
, e suponhamos
Se
, então
o que contradiz (a) pois daria
. Logo
e então
. Como
é LI, cada
. Portanto
é LI.
Passo 4
Para (c) suponhamos
O primeiro somatório está em
e o segundo em
, então cada um representa o mesmo vetor em
, logo ambos são zero. Da independência de
e de
segue
e
para todos
. Assim
é LI.
Passo 5
Para (d) tomemos
. Como
, existem
e
tais que
. Então
é combinação de
e
de
, e assim
é combinação de
. Juntando com a LI de (c), concluímos que
é base de
.
Passo 6
Para (e) basta observar que
é base de
e tem
vetores. Logo
Resposta
(a) Se
e
é combinação de
, então
.
(b) Se ,
, então
é LI.
(c) é LI.
(d) é base de
.
(e) .
(b) Se
(c)
(d)
(e)