Considere o subespaço W de R^3 dado por
W=(x+3 y+z, x+2 y+2 t, y+z-2 t) ; x, y, z, t in R
Mostre que os vetores v1=(1,1,0) e v2=(0,-1,1) pertencem ao subespaço W.

Passo 1

O subespaço WsubsetR^3 é dado em forma paramétrica por
W = (x+3y+z,;x+2y+2t,;y+z-2t);:;x,y,z,tinR
Para mostrar que um vetor v=(v1,v2,v3) pertence a W basta encontrar números reais x,y,z,t tais que
x+3y+z = v1, x+2y+2t = v2, y+z -2t = v3

Passo 2

Queremos
Escolhendo, por exemplo, obtemos da primeira equação e da segunda . De fato,
logo .

Passo 3

Queremos
Tomando temos da primeira equação , e da segunda . Então
portanto .

Resposta

Os vetores v1=(1,1,0) e v2=(0,-1,1) pertencem a W, pois basta tomar
(x,y,z,t)=(1,0,0,0)para v1, (x,y,z,t)=(-1,0,1,0)para v2

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