Determine uma base e a dimensão de , justificando detalhadamente, em que é subespaço de dado por
Passo 1
O enunciado define o subespaço
Queremos encontrar uma base de e sua dimensão. Para isso, vamos reescrever cada vetor de como combinação linear de vetores fixos em função dos parâmetros .
Passo 2
Extraindo os coeficientes de , e , escrevemos
Logo,
Passo 3
Para verificar dependência linear, consideramos
Isso gera o sistema
Da primeira equação alpha=-2beta. Substituindo na segunda,
Na terceira, as escolhas alpha=-2beta, gamma=-3beta satisfazem -24(-2beta)+3beta+17(-3beta)=0.
Logo existe relação não trivial
-2,v1+1,v2-3,v3=0 Longrightarrow v2=2,v1+3,v3,
ou seja, v2 depende de v1 e v3.
Passo 4
Como v2 é combinação de v1 e v3, basta v1,v3 para gerar W. Verifica-se facilmente que v1 e v3 são linearmente independentes (suas primeiras ou terceiras coordenadas não permitem relação não trivial). Portanto