Determine uma base e a dimensão de W, justificando detalhadamente, em que W é subespaço de R^4 dado por
W=(a+2 b, 0,-a+b+c,-24 a+3 b+17 c) / a, b, c in R

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W=(a+2b,,0,,-a+b+c,,-24a+3b+17c)mid a,b,cinRsubsetR^4
Queremos encontrar uma base de W e sua dimensão. Para isso, vamos reescrever cada vetor de W como combinação linear de vetores fixos em função dos parâmetros a,b,c.

Passo 2

Extraindo os coeficientes de a, b e c, escrevemos
(a+2b,,0,,-a+b+c,,-24a+3b+17c) = a,(1,0,-1,-24)+b,(2,0,1,3)+c,(0,0,1,17)
Logo,
W=spanv1,v2,v3, v1=(1,0,-1,-24),;v2=(2,0,1,3),;v3=(0,0,1,17)

Passo 3

Para verificar dependência linear, consideramos
alpha v1+beta v2+gamma v3=0
Isso gera o sistema
alpha+2beta=0, -,alpha+beta+gamma=0, -24alpha+3beta+17gamma=0
Da primeira equação alpha=-2beta. Substituindo na segunda,
-(-2beta)+beta+gamma=0implies3beta+gamma=0impliesgamma=-3beta
Na terceira, as escolhas alpha=-2beta, gamma=-3beta satisfazem
-24(-2beta)+3beta+17(-3beta)=0.
Logo existe relação não trivial
-2,v1+1,v2-3,v3=0 Longrightarrow v2=2,v1+3,v3,
ou seja, v2 depende de v1 e v3.

Passo 4

Como v2 é combinação de v1 e v3, basta v1,v3 para gerar W. Verifica-se facilmente que v1 e v3 são linearmente independentes (suas primeiras ou terceiras coordenadas não permitem relação não trivial). Portanto
v1,v3=(1,0,-1,-24),,(0,0,1,17)
é uma base de W, e dim W=2.

Resposta

Uma base de W é
(1,0,-1,-24),;(0,0,1,17),
e dim W=2.

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