Mostre que v1=(1,1,1), v2=(0,1,1), v3=(0,1,-1), v4=(3,1,-1) gera o R^3 mas por quê não forma uma base do R^3?

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em R^3:
vec v1=(1,1,1), vec v2=(0,1,1), vec v3=(0,1,-1), vec v4=(3,1,-1)
Pede-se mostrar que eles geram R^3 (ou seja, seu span é todo R^3) e explicar por que não formam uma base (isto é, por que não são todos linearmente independentes). Vamos usar a definição de geração e a definição de base em termos de independência linear e dimensão.

Passo 2

Para gerar
Isso dá o sistema das componentes:
Da primeira equação vem e . Logo é um conjunto de três vetores independentes em e, portanto, forma uma base de . Consequentemente, qualquer vetor de pode ser escrito como combinação linear de , o que implica que o span de é todo . Como está em , ele também está no span desses três, então
isto é, os quatro geram .

Passo 3

Para ser base de
Escrevendo as componentes, obtemos
isto é,
Da primeira equação vem (\alpha=3]. Substituindo nas outras:
Somando e subtraindo, acha-se e . Assim
uma combinação não trivial, logo o conjunto é linearmente dependente. Portanto, apesar de gerar , não é uma base.

Resposta

Os quatro vetores geram R^3 porque três deles já formam base e o quarto entra no span, mas não formam base pois são linearmente dependentes (quatro vetores num espaço de dimensão 3 não podem ser independentes).

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