Mostre que gera o mas por quê não forma uma base do ?
Passo 1
O enunciado dá quatro vetores em :
Pede-se mostrar que eles geram (ou seja, seu span é todo ) e explicar por que não formam uma base (isto é, por que não são todos linearmente independentes). Vamos usar a definição de geração e a definição de base em termos de independência linear e dimensão.
Passo 2
Para gerar
Isso dá o sistema das componentes:
Da primeira equação vem e . Logo é um conjunto de três vetores independentes em e, portanto, forma uma base de . Consequentemente, qualquer vetor de pode ser escrito como combinação linear de , o que implica que o span de é todo . Como está em , ele também está no span desses três, então
isto é, os quatro geram .
Passo 3
Para ser base de
Escrevendo as componentes, obtemos
isto é,
Da primeira equação vem (\alpha=3]. Substituindo nas outras:
Somando e subtraindo, acha-se e . Assim
uma combinação não trivial, logo o conjunto é linearmente dependente. Portanto, apesar de gerar , não é uma base.
Resposta
Os quatro vetores geram R^3 porque três deles já formam base e o quarto entra no span, mas não formam base pois são linearmente dependentes (quatro vetores num espaço de dimensão 3 não podem ser independentes).