Considere S=[(2,1,0),(1,-1,2),(0,3,-4)], o subespaço do \Re^{3} gerado pelos vetores (2,1,0),(1,-1,2) e (0,3,-4). Determine sua equação.
Solução. Seja ( \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} ) um elemento de S .
Então, (a, b, c)=x(2,1,0)+y(1,-1,2)+z(0,3,-4).
Daí,
\left\{\begin{array}{c}2 x+y=a \\\ x-y+3 z=b \\\\ 2 y-4 z=c\end{array} \quad\right. ou \quad\left\{\begin{array}{c}2 x+y=a \\\\ 3 y-6 z=a-2 b \\\\ 0=2 a-4 b-3 c\end{array}\right..
Logo, \mathrm{W}=\{(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}) / 2 \mathrm{a}-4 \mathrm{~b}-3 \mathrm{c}=0\}=\left\{\left(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \frac{2 \mathrm{a}-4 \mathrm{~b}}{3}\right) / \mathrm{a}, \mathrm{b} \in \Re\right\}.

Passo 1

O enunciado dá o subespaço S\subset \Re^{3} gerado pelos vetores (2,1,0), (1,-1,2) e (0,3,-4). Ou seja, S=\operatorname{span}\{(2,1,0),(1,-1,2),(0,3,-4)\}.
O que se pede: determinar a equação de S. Em outras palavras, encontrar a(s) condição(ões) linear(es) que as coordenadas (a,b,c) de um vetor precisam satisfazer para pertencer a S.
Informações relevantes:
  • Vetores geradores: v_{1}=(2,1,0), v_{2}=(1,-1,2), v_{3}=(0,3,-4).
  • Qualquer (a,b,c)\in S pode ser escrito como combinação linear dos geradores.

Passo 2

Vamos escrever um vetor genérico (a,b,c)\in S\) como combinação linear: \[(a,b,c)=x(2,1,0)+y(1,-1,2)+z(0,3,-4),
onde x,y,z\in\Re são escalares (os coeficientes da combinação linear).
Igualando coordenadas componente a componente obtemos o sistema:
\begin{cases} 2x+y=a,\\[4pt] x-y+3z=b,\\[4pt] 2y-4z=c. \end{cases}
Aqui cada linha diz respeito a uma coordenada: a primeira é a coordenada x\]- (ou primeira) do vetor, a segunda a coordenada \(y- (segunda) e a terceira a coordenada z- (terceira), todas em notação de componentes do vetor.]

Passo 3

A ideia é eliminar os parâmetros x,y,z para obter uma relação só entre a,b,c.
Da primeira equação temos
y=a-2x.
Substituindo y nas outras duas equações:
Na segunda:
x-(a-2x)+3z=b.
Calcule passo a passo:
x-a+2x+3z=b \quad\Rightarrow\quad 3x+3z=a+b.
Dividindo por 3 fica
x+z=\frac{a+b}{3}.
Na terceira:
2(a-2x)-4z=c.
Calcule passo a passo:
2a-4x-4z=c.

Passo 4

Agora use a relação x+z=\dfrac{a+b}{3} para eliminar x e z na equação obtida na terceira linha.
Multiplique x+z=\dfrac{a+b}{3} por 4:
4x+4z=\frac{4(a+b)}{3}.
Da equação 2a-4x-4z=c temos:
2a-(4x+4z)=c.
Substituindo 4x+4z pelo valor acima:
2a-\frac{4(a+b)}{3}=c.
Colocando tudo em comum e simplificando:
\frac{6a-4a-4b}{3}=c \quad\Rightarrow\quad \frac{2a-4b}{3}=c.
Multiplicando por 3 para remover o denominador:
2a-4b-3c=0.
Esta é a relação linear que deve ser satisfeita por (a,b,c) para estar em S.

Passo 5

Interpretação e forma alternativa:
  • A equação \;2a-4b-3c=0\; descreve um plano através da origem em \Re^{3}. O vetor normal a esse plano é n=(2,-4,-3).
  • Também se pode escrever S em forma paramétrica usando a e b como parâmetros:
S=\left\{\left(a,b,\frac{2a-4b}{3}\right)\;:\;a,b\in\Re\right\}.
Verificação rápida (para aumentar a confiança): cada gerador satisfaz a equação
\text{Para }(2,1,0):\quad 2\cdot2-4\cdot1-3\cdot0=4-4=0.
\text{Para }(1,-1,2):\quad 2\cdot1-4\cdot(-1)-3\cdot2=2+4-6=0.
\text{Para }(0,3,-4):\quad 2\cdot0-4\cdot3-3\cdot(-4)= -12+12=0.
Logo, todos os geradores pertencem ao conjunto definido pela equação, confirmado.
Observação adicional (útil para prova): como há uma única equação linear independente a definir S, o subespaço tem dimensão 2 (um plano). Dois dos vetores geradores já formam uma base (por exemplo (2,1,0) e (1,-1,2) são linearmente independentes), mas isso não era pedido — só ajuda a entender a geometria.

Resposta

2a-4b-3c=0

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