Seja o conjunto A=\left\{w_{1}, w_{2}\right\}, sendo w_{1}=(-1,3,-1) w_{2}=(1,-2,4). Determine:
(a) O subespaço S gerado pelo conjunto A.
(b) O valor de k para que o vetor w=(5, k, 11) pertença à S .
Solução.
(a) Para todo vetor (x, y, z) \in S, tem-se: (\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\mathrm{a}(-1,3,-1)+\mathrm{b}(1,-2,4). Daí, \left\{\begin{array}{l}-a+b=x \\\\ 3 a-2 b=y \\\\ -a+4 b=z\end{array}\right. \left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & x \\\\ 3 & -2 & y \\\\ -1 & 4 & z\end{array}\right]^{L_{1} \leftarrow-L_{1}}\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -x \\\\ 3 & -2 & y \\\\ -1 & 4 & z\end{array}\right] L_{2} \leftarrow L_{2}-3 L_{1}\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & x \\\\ 0 & 1 & 3 x+y \\\\ -1 & 4 & z\end{array}\right]_{L_{3} \leftarrow L_{3}+L_{1}} \left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & -x \\\\ 0 & 1 & 3 x+y \\\\ 0 & 3 & z-x\end{array}\right]^{L_{1} \leftarrow L_{1}+L_{2}}\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 x+y \\\\ 0 & 1 & 3 x+y \\\\ 0 & 3 & z-x\end{array}\right]_{L_{3} \leftarrow L_{3}-3 L_{2}}\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 x+y \\\\ 0 & 1 & 3 x+y \\\\ 0 & 0 & -10 x-3 y+z\end{array}\right]
O vetor (x, y, z) \in \mathrm{S} se, e somente se, o sistema tem solução, e isto ocorre quando 10 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}-\mathrm{z}=0.
Logo, S=\left\{(x, y, z) \in \Re^{3} ; z=10 x+3 y\right\}.
(b) (5, k, 11) \in S \Leftrightarrow 11=10 \cdot 5+3 \cdot \mathrm{k} \Leftrightarrow \mathrm{k}=-13.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, para a gente não se perder.
Dados:
w_{1}=(-1,3,-1).
w_{2}=(1,-2,4).
O conjunto A=\{w_{1},w_{2}\}.
O vetor w=(5,k,11) (aqui k é desconhecido).
Perguntas:
(a) Determinar o subespaço S gerado por A.
(b) Determinar o valor de k para que w\in S.
Passo 2
Primeiro, explicar o que significa "subespaço gerado por A\)". O subespaço gerado por \(A\) é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores de \(A\). Ou seja, qualquer vetor em \(S\) pode ser escrito como
\[(a)\quad (x,y,z)=\alpha\,w_{1}+\beta\,w_{2}
onde \alpha e \beta são escalares (reais). Vou escrever explicitamente as componentes usando \alpha e \beta:
(x,y,z)=\alpha(-1,3,-1)+\beta(1,-2,4).
Agora escrevo as três equações escalares (uma por componente) que isso impõe:
onde troquei \alpha\] por \(a e \beta por b só para simplificar a notação.]
Passo 3
Vou resolver as duas primeiras equações para encontrar [a) e b em função de x e y. Isso é só álgebra básica de sistemas lineares de 2\times2.
Das duas primeiras equações:
\begin{cases} -a+b = x,\\[4pt] 3a-2b = y. \end{cases}
Da primeira obtém-se b = x + a\]. Substituo na segunda:
\[3a-2(x+a)=y.\]
Faço as operações:
\[3a-2x-2a = y \quad\Rightarrow\quad a-2x = y.\]
Logo
\[a = y+2x.\]
Agora volto em \(b = x + a:
b = x + (y+2x) = 3x + y.]
Passo 4
Agora uso a terceira equação -a+4b = z. Substituo a e b que encontrei:
Portanto qualquer vetor (x,y,z) que seja combinação linear de w_{1} e w_{2} satisfaz
z = 10x + 3y.
Agora explico por que isso caracteriza exatamente S. Demonstramos que qualquer combinação linear produz um vetor com z=10x+3y. Reciprocamente, se um vetor (x,y,z) satisfaz z=10x+3y, então definindo
a = y+2x,\qquad b = 3x+y,
obtemos, pelas contas acima, que (x,y,z)=a w_{1}+b w_{2}. Logo a condição z=10x+3y é necessária e suficiente para (x,y,z)\in S.
Assim podemos descrever o subespaço S de duas formas equivalentes (vou apresentar a forma explícita pedida):
Forma implícita (equação do plano):
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=10x+3y\}.
Forma geradora (base): S=\operatorname{span}\{w_{1},w_{2}\} com w_{1}=(-1,3,-1) e w_{2}=(1,-2,4) (esses dois vetores são linearmente independentes e geram um plano).
Passo 5
Agora resolvo a parte (b). Queremos w=(5,k,11) em S. Pela caracterização do passo anterior, isso equivale a exigir que os componentes satisfaçam