Determine uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
(b) S=\left\{(x, y) \in Re^{3} / x+y=0\right\}

Passo 1

O enunciado pede: "Determine uma base para o conjunto S dado por S=\{(x,y, z)\in \mathbb{R}^{3}\mid x+y=0\}".
Informações dadas:
  • O conjunto S é formado por vetores em \mathbb{R}^{3}.
  • Todos os vetores em S satisfazem a equação linear x+y=0.
  • A tarefa é encontrar um conjunto de vetores que seja base de S (isto é, que gere S e cujos vetores sejam linearmente independentes).

Passo 2

Primeiro vamos usar a equação x+y=0 para expressar as coordenadas de qualquer vetor de S em forma paramétrica. A condição x+y=0 é equivalente a
x=-y.
Escolho parâmetros para as coordenadas livres. Seja s o valor de y e t o valor de z. Então x=-s, y=s e z=t, com s,t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Escrevendo o vetor genérico de S em função de s e t obtemos
(x,y,z)=(-s,s,t).
Agora fatoramos s e t para escrever esse vetor como combinação linear de vetores fixos:
(-s,s,t)=s(-1,1,0)+t(0,0,1).

Passo 4

A equação acima mostra que todo vetor de S é combinação linear dos vetores (-1,1,0) e (0,0,1). Portanto esses dois vetores geram S; ou seja,
\operatorname{span}\{(-1,1,0),(0,0,1)\}=S.

Passo 5

Agora verificamos que os vetores (-1,1,0) e (0,0,1) são linearmente independentes. Suponha que existam escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
a(-1,1,0)+b(0,0,1)=(0,0,0).
Isso dá o sistema de coordenadas
(-a,\,a,\,b)=(0,0,0).
Das equações coordenada a coordenada segue -a=0, a=0 e b=0. Assim a=0 e b=0 são os únicos escalares que satisfazem a combinação nula, logo os vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Tendo mostrado que \{(-1,1,0),(0,0,1)\} gera S e é linearmente independente, concluímos que é uma base de S. Observação útil: isso também mostra \dim(S)=2.

Resposta

\{(-1,1,0),(0,0,1)\}

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