Determine uma base para cada um dos seguintes espaços vetoriais:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede: "Determine uma base para o conjunto
dado por
".
Informações dadas:
Informações dadas:
- O conjunto
é formado por vetores em . - Todos os vetores em
satisfazem a equação linear . - A tarefa é encontrar um conjunto de vetores que seja base de
(isto é, que gere e cujos vetores sejam linearmente independentes).
Passo 2
Primeiro vamos usar a equação
para expressar as coordenadas de qualquer vetor de
em forma paramétrica. A condição
é equivalente a
Escolho parâmetros para as coordenadas livres. Seja
o valor de
e
o valor de
. Então
,
e
, com
.
Passo 3
Escrevendo o vetor genérico de
em função de
e
obtemos
Agora fatoramos
e
para escrever esse vetor como combinação linear de vetores fixos:
Passo 4
A equação acima mostra que todo vetor de
é combinação linear dos vetores
e
. Portanto esses dois vetores geram
; ou seja,
Passo 5
Agora verificamos que os vetores
e
são linearmente independentes. Suponha que existam escalares
tais que
Isso dá o sistema de coordenadas
Das equações coordenada a coordenada segue
,
e
. Assim
e
são os únicos escalares que satisfazem a combinação nula, logo os vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Tendo mostrado que
gera
e é linearmente independente, concluímos que é uma base de
. Observação útil: isso também mostra
.