Considere o subespaço de \mathbf{R}^{4} gerado pelos vetores v_{1}=(1,-1,0,0), v_{2}=(0,0,1,1), v_{3}=(-2,2,1,1) e v_{4}=(1,0,0,0).
a) O vetor (2,-3,2,2) \in\left[v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right] ? Justifique.
b) Exiba uma base para \left[v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right]. Qual é a dimensão?
c) \left[v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right]=\mathbf{R}^{4} ? Por qué?

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em \mathbf{R}^4:
v_{1}=(1,-1,0,0), v_{2}=(0,0,1,1), v_{3}=(-2,2,1,1) e v_{4}=(1,0,0,0).
As perguntas são:
(a) O vetor (2,-3,2,2) pertence a \left[v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\right] (o subespaço gerado por esses vetores)? Justificar.
(b) Exibir uma base para \left[v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\right]. Qual é a dimensão?
(c) Será que \left[v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\right]=\mathbf{R}^{4}? Justifique.

Passo 2

O que significa testar pertença e como vamos proceder (explicação didática):
  • Dizer que w pertence ao subespaço gerado por v_1,\dots,v_4 significa que existem escalares a,b,c,d tais que
a v_1 + b v_2 + c v_3 + d v_4 = w.
  • Para verificar isso montamos o sistema linear obtido das componentes (uma equação por coordenada) e resolvemos. Se existir solução, w está no span; se não existir, não está.
  • Para encontrar uma base a partir do conjunto gerador, buscamos quais vetores são linearesmente independentes. Se algum vetor puder ser escrito como combinação linear dos outros, ele é redundante e pode ser removido da base candidata. Uma forma prática é identificar relações lineares simples entre os vetores ou aplicar eliminação de Gauss sobre a matriz cujas colunas são os vetores.

Passo 3

Aplicando o método para (a): montar o sistema para
a v_1 + b v_2 + c v_3 + d v_4 = (2,-3,2,2).
Escrevendo coordenada a coordenada obtemos o sistema
\begin{cases} a - 2c + d = 2,\\[4pt] - a + 2c = -3,\\[4pt] b + c = 2,\\[4pt] b + c = 2. \end{cases}
Observação: a 3ª e 4ª equações são idênticas, então não há contradição imediata por aí.
Da 2ª equação isolamos a:
- a + 2c = -3 \quad\Rightarrow\quad a = 2c + 3.
Da 3ª equação isolamos b:
b + c = 2 \quad\Rightarrow\quad b = 2 - c.
Substituindo a na 1ª equação:
(2c+3) - 2c + d = 2 \quad\Rightarrow\quad 3 + d = 2 \quad\Rightarrow\quad d = -1.
Repare que c ficou livre (parâmetro): para qualquer c essas relações definem a,b,d compatíveis. Portanto existe solução: por exemplo escolhendo c=0 obtemos a=3, b=2, d=-1. Conferindo:
3v_1 + 2v_2 + 0\cdot v_3 - 1\cdot v_4 = (2,-3,2,2).
Conclusão: (2,-3,2,2)\in\left[v_1,v_2,v_3,v_4\right]. (Há, na verdade, infinitas combinações que geram esse vetor, devido ao parâmetro c.)]

Passo 4

Agora (b): encontrar uma base e a dimensão — explicação didática sobre dependência linear:
  • Um conjunto de vetores é linearmente dependente se existe uma combinação linear não trivial que dá o vetor zero.
  • Se algum vetor do gerador puder ser escrito como combinação linear dos outros, ele é redundante e pode ser retirado ao formar uma base.
Procuro relações óbvias entre os v_i. Calculo -2v_1 + v_2:
-2v_1 + v_2 = -2(1,-1,0,0) + (0,0,1,1) = (-2,2,1,1),
que é exatamente v_3. Assim
v_3 = -2v_1 + v_2.
Isso mostra que v_3 é combinação dos outros e, portanto, é redundante no gerador.

Passo 5

Depois de eliminar [v_3), resta estudar \{v_1,v_2,v_4\}. Vamos verificar se esses três são linearmente independentes (fazer isso de forma direta é rápido e didático):
Considere uma combinação
\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_4 = (0,0,0,0).
Escrevendo coordenadas:
\begin{cases} \alpha + 0 + \gamma = 0,\\\\ - \alpha + 0 + 0 = 0,\\\\ 0 + \beta + 0 = 0,\\\\ 0 + \beta + 0 = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem \alpha = 0\]. Da terceira vem \(\beta = 0. Com \alpha=0 a primeira dá \gamma=0. Assim a única solução é trivial \alpha=\beta=\gamma=0, logo \{v_1,v_2,v_4\} é linearmente independente.
Portanto \{v_1,v_2,v_4\} é uma base para o subespaço gerado originalmente (pois gera o mesmo subespaço e é independente). A dimensão do subespaço é o número de vetores da base: 3.

Passo 6

Complemento didático — outro argumento rápido que explica por que a dimensão é 3 sem cálculo extra:
  • Observe que, para qualquer combinação a v_1 + b v_2 + c v_3 + d v_4, as 3ª e 4ª coordenadas são sempre iguais porque v_1 e v_4 têm 0 nas coordenadas 3 e 4, enquanto v_2 e v_3 têm a mesma entrada nessas coordenadas (ambas 1 e 1). Logo qualquer vetor do subespaço satisfaz
\text{(3ª coordenada)} = \text{(4ª coordenada)}.ªª
Isso impõe uma restrição linear entre coordenadas, por isso o subespaço não pode ser todo \mathbf{R}^4 (o espaço total teria liberdade para ter coordenadas 3 e 4 distintas). Essa observação também é consistente com dimensão 3.

Passo 7

Resposta final objetiva com os resultados pedidos.

Resposta

(a) Sim. Por exemplo 3v_1+2v_2-1v_4=(2,-3,2,2).\n
(b) Uma base é \{v_1,v_2,v_4\}. Dimensão =3.\n
(c) Não. \left[v_1,v_2,v_3,v_4\right]\neq\mathbf{R}^4 porque sua dimensão é 3<4 (equivalently, todas as combinações têm 3ª e 4ª coordenadas iguais, portanto nem todo vetor de \mathbf{R}^4 pertence ao subespaço).

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