Seja W o subespaço de M(3,2) gerado por
\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\\\ 0 & -1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right] \text { e }\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right] \text {. O vetor }\left[\begin{array}{ll} 0 & 2 \\\\ 3 & 4 \\\\ 5 & 0 \end{array}\right] \text { pertence a } W ?

Passo 1

O enunciado dá o subespaço W\subset M(3,2) gerado por três matrizes e pergunta se uma matriz dada pertence a W. As informações fornecidas são (copiadas do enunciado):
A_1=\left[\begin{array}{rr} 0 & 0 \\\\ 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\qquad A_2=\left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\\\ 0 & -1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right],\qquad A_3=\left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right]
e
T=\left[\begin{array}{rr} 0 & 2 \\\\ 3 & 4 \\\\ 5 & 0 \end{array}\right].
A pergunta é: O vetor (matriz) T pertence a W? (isto é, T pode ser escrito como combinação linear de A_1,A_2,A_3.)

Passo 2

O que significa T\in W: existem escalares x,y,z\in\mathbb{R} tais que
xA_1+yA_2+zA_3=T.
Vou escrever explicitamente a combinação linear e igualar entrada a entrada. A combinação é
x\left[\begin{array}{rr} 0 & 0 \\\\ 1 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right] + y\left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\\\ 0 & -1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right] + z\left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rr} 0 & 2 \\\\ 3 & 4 \\\\ 5 & 0 \end{array}\right].

Passo 3

Agora igualo cada entrada correspondente das matrizes para obter um sistema de equações lineares. Das seis entradas obtemos:
\begin{array}{ll} \text{(1) } & 0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z = 0,\\[4pt] \text{(2) } & 0\cdot x+1\cdot y+1\cdot z = 2,\\[4pt] \text{(3) } & 1\cdot x+0\cdot y+0\cdot z = 3,\\[4pt] \text{(4) } & 1\cdot x+(-1)\cdot y+0\cdot z = 4,\\[4pt] \text{(5) } & 0\cdot x+1\cdot y+0\cdot z = 5,\\[4pt] \text{(6) } & 0\cdot x+0\cdot y+0\cdot z = 0. \end{array}
As equações (1) e (6) são triviais ( 0=0 ). As equações relevantes são (2), (3), (4) e (5).]

Passo 4

Resolvo as equações não triviais passo a passo.
Da equação (3) segue imediatamente
x=3.
Substituindo x=3 na equação (4) obtemos
3 - y = 4 \quad\Rightarrow\quad y = -1.
A equação (5) dá outra condição para y:
y = 5.
Portanto temos duas condições incompatíveis para y: y=-1 (da equação (4)) e y=5 (da equação (5)). Isso é uma contradição.

Passo 5

Como o sistema de equações é inconsistente (duas equações exigem valores diferentes para y), não existem escalares x,y,z que satisfaçam xA_1+yA_2+zA_3=T. Logo T não pode ser escrito como combinação linear de A_1,A_2,A_3.

Resposta

Não pertence a W.

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